9.4.2 极坐标曲线的水平与垂直切线 (Horizontal and Vertical Tangents)

通过分析dy/dθ和dx/dθ的零点，确定极坐标曲线上水平切线和垂直切线的位置

定义

极坐标曲线的水平与垂直切线是指在极坐标系中，曲线上切线斜率为零或不存在的点。对于极坐标曲线 \(r = f(\theta)\)，可以通过参数方程 \(x = r\cos\theta = f(\theta)\cos\theta\) 和 \(y = r\sin\theta = f(\theta)\sin\theta\) 来分析切线的方向。水平切线出现在 \(\frac{dy}{d\theta} = 0\) 且 \(\frac{dx}{d\theta} \neq 0\) 的点；垂直切线出现在 \(\frac{dx}{d\theta} = 0\) 且 \(\frac{dy}{d\theta} \neq 0\) 的点。通过求导并找出这些导数的零点，可以确定极坐标曲线上所有水平和垂直切线的位置。

核心公式

• \(\frac{dy}{d\theta} = \frac{dr}{d\theta}\sin\theta + r\cos\theta\)
• \(\frac{dx}{d\theta} = \frac{dr}{d\theta}\cos\theta - r\sin\theta\)
• \(\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{\frac{dr}{d\theta}\sin\theta + r\cos\theta}{\frac{dr}{d\theta}\cos\theta - r\sin\theta}\)
• \(\text{水平切线：} \frac{dy}{d\theta} = 0 \text{ 且 } \frac{dx}{d\theta} \neq 0\)
• \(\text{垂直切线：} \frac{dx}{d\theta} = 0 \text{ 且 } \frac{dy}{d\theta} \neq 0\)

易错点

• ⚠️ 混淆条件：学生常常只检查 \(\frac{dy}{d\theta} = 0\) 就认为有水平切线，忽视了需要同时满足 \(\frac{dx}{d\theta} \neq 0\) 的条件。当两个导数同时为零时，需要进一步分析，可能是尖点或其他特殊点。
• ⚠️ 忘记对 \(r\) 求导：在计算 \(\frac{dy}{d\theta}\) 和 \(\frac{dx}{d\theta}\) 时，学生常常忘记使用乘积法则对 \(r\cos\theta\) 和 \(r\sin\theta\) 求导，导致漏掉 \(\frac{dr}{d\theta}\) 项。
• ⚠️ 混淆极坐标与直角坐标的切线判断：在极坐标中，水平和垂直是相对于直角坐标系的 \(x\) 轴和 \(y\) 轴，而不是相对于 \(\theta\) 轴。学生有时会错误地用 \(\frac{dr}{d\theta}\) 的零点来判断。
• ⚠️ 忽视原点处的特殊情况：当 \(r = 0\) 时（曲线通过原点），即使 \(\frac{dy}{d\theta}\) 或 \(\frac{dx}{d\theta}\) 为零，也需要检查是否真的存在切线，因为原点可能对应多个 \(\theta\) 值。