8.1.1 Area Between Curves (Vertical Slicing)

使用垂直切片法计算两条曲线之间的面积，积分变量为x，积分式为∫a,bdx

定义

垂直切片法（Vertical Slicing）是计算两条曲线之间面积的一种方法。当两条连续函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上满足 \(f(x) \geq g(x)\) 时，它们之间的面积可以通过沿 \(x\) 轴方向进行垂直切片来计算。具体地，在每个微小的 \(x\) 区间 \([x, x+dx]\) 内，两条曲线之间的距离为 \(f(x) - g(x)\)，将这些微小矩形的面积累加（积分）即可得到总面积。这种方法适用于当被积函数能够表示为 \(x\) 的函数，且上下边界清晰的情况。

核心公式

• \(A = \int_a^b [f(x) - g(x)] \, dx\)，其中 \(f(x) \geq g(x)\) 在 \([a,b]\) 上恒成立
• \(A = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx\)，当两条曲线有交点时的通用形式
• \(A = \int_a^c [f(x) - g(x)] \, dx + \int_c^b [g(x) - f(x)] \, dx\)，当曲线在 \(x=c\) 处相交时
• \(\text{交点：求解方程} \ f(x) = g(x) \ \text{得到积分上下限} \ a, b\)
• \(A = \int_a^b f(x) \, dx - \int_a^b g(x) \, dx = \int_a^b [f(x) - g(x)] \, dx\)，面积的线性性质

易错点

• ⚠️ 混淆上下函数：学生常常不确定哪个函数是上函数，哪个是下函数。正确做法是在积分区间内选取一个测试点，比较两个函数值的大小，或者画出草图来确定相对位置。
• ⚠️ 忽视曲线交点：当两条曲线在积分区间内有多个交点时，学生可能忘记分段积分。必须先求出所有交点，然后在每个子区间内确定上下函数关系，分别积分后求和。
• ⚠️ 积分上下限错误：学生可能直接使用题目给定的数字作为积分限，而忽略了实际的交点位置。正确的做法是求解 \(f(x) = g(x)\) 来确定真正的积分上下限。
• ⚠️ 符号和绝对值处理不当：当计算 \(f(x) - g(x)\) 时，如果没有正确判断大小关系，可能得到负值。使用绝对值 \(|f(x) - g(x)|\) 或分段处理可以避免这个问题。