2.4.1 Product Rule (乘积法则)

掌握乘积法则的公式推导和理论基础，理解两个函数乘积的导数等于第一个函数乘以第二个函数的导数加上第二个函数乘以第一个函数的导数

定义

乘积法则（Product Rule）是微积分中用于求两个函数乘积的导数的基本法则。设 \(u(x)\) 和 \(v(x)\) 是关于 \(x\) 的可导函数，则它们乘积 \(f(x) = u(x) \cdot v(x)\) 的导数等于第一个函数乘以第二个函数的导数，加上第二个函数乘以第一个函数的导数。即：若 \(f(x) = u(x) \cdot v(x)\)，则 \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\)。这个法则可以通过导数的极限定义推导得出，是求解复杂函数导数的重要工具。

核心公式

• \(\frac{d}{dx}[u(x) \cdot v(x)] = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\)
• \([f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\)
• \(\frac{d}{dx}[u \cdot v] = \frac{du}{dx} \cdot v + u \cdot \frac{dv}{dx}\)
• \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x)}{h}\)
• \(\frac{d}{dx}[c \cdot f(x)] = c \cdot f'(x)\) （常数倍数法则，乘积法则的特殊情况）

易错点

• ⚠️ 错误地将乘积的导数写成导数的乘积，即错误地认为 \((uv)' = u' \cdot v'\)，而忽视了交叉项 \(u \cdot v'\) 和 \(u' \cdot v\)
• ⚠️ 在应用乘积法则时，对两个函数的求导顺序或符号处理错误，导致最终结果中项的符号或顺序不正确
• ⚠️ 当其中一个函数是常数时，仍然复杂地应用乘积法则，而不是直接使用常数倍数法则简化计算
• ⚠️ 在多个函数相乘的情况下（如 \(f(x) = u(x) \cdot v(x) \cdot w(x)\)），错误地应用乘积法则，未能正确地逐步分解或使用链式法则的组合