5.3.5 分段函数和含绝对值函数的单调性

处理分段函数、含绝对值等特殊函数的导数计算和单调性分析，注意分界点的连续性和可导性

定义

分段函数是指在定义域的不同区间上由不同的表达式定义的函数。含绝对值函数可以改写为分段函数的形式。对于分段函数和含绝对值函数的单调性分析，需要：

1. 分界点的连续性检验：在分界点处，检查左极限、右极限和函数值是否相等，即 \(\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)\)

2. 分界点的可导性检验：在分界点处，检查左导数和右导数是否存在且相等，即 \(f'_-(a) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'_+(a)\)

3. 单调性分析：在每个分段区间内，根据导数的符号判断单调性；在分界点处，需要特别注意函数的连续性和可导性，以确定整体的单调性

4. 含绝对值函数的处理：对于形如 \(f(x) = |g(x)|\) 的函数，先将其改写为分段函数：\(f(x) = \begin{cases} g(x), & g(x) \geq 0 \\ -g(x), & g(x) < 0 \end{cases}\)，然后按分段函数的方法分析

核心公式

• \(["\)f'-(a) = \lim{h \to 0^-} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\(（左导数）", "\)f'+(a) = \lim{h \to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\(（右导数）", "\)f(x) = |g(x)| = \begin{cases} g(x), & g(x) \geq 0 \\ -g(x), & g(x) < 0 \end{cases}\(（绝对值函数的分段表示）", "\)\frac{d}{dx}|u| = \frac{u}{|u|} \cdot u' = \text{sgn}(u) \cdot u'$（当 \(u \\neq 0\) 时）", "\(f'(x) = \\begin{cases} f_1'(x), & x \\in (a, b) \\\\ f_2'(x), & x \\in (b, c) \\end{cases}\)（分段函数在各段的导数）"]$

易错点

• ⚠️ 忽视分界点的可导性检验：学生常常只检查连续性，而忽略了在分界点处左右导数是否相等。即使函数在分界点连续，也可能不可导（如 \(f(x) = |x|\) 在 \(x=0\) 处），这会影响单调性的判断
• ⚠️ 错误地处理含绝对值函数的导数：直接对 \(|f(x)|\) 求导而不先改写成分段函数，或者在 \(f(x)=0\) 的点处错误地应用导数公式，导致遗漏或错判单调区间
• ⚠️ 在分界点处判断单调性时出错：即使函数在分界点不可导，只要函数连续且在分界点两侧导数同号，函数仍然单调。学生常常因为分界点不可导就认为单调性被破坏
• ⚠️ 忽视分段函数各段的定义域：在求导和分析单调性时，必须确保在正确的定义域范围内进行，不能将某一段的结论错误地应用到其他段