6.7.2 利用反导数计算定积分

通过求被积函数的反导数，然后计算端点值之差来求定积分的值

定义

利用反导数计算定积分是微积分基本定理的核心应用。设函数 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，\(F(x)\) 是 \(f(x)\) 的一个反导数（即 \(F'(x) = f(x)\)），则定积分可以通过以下方式计算：先求被积函数 \(f(x)\) 的反导数 \(F(x)\)，然后计算 \(F(b) - F(a)\)。这个方法将定积分的计算从复杂的极限定义转化为求反导数和计算函数值的问题，大大简化了定积分的计算过程。反导数也称为不定积分或原函数。

核心公式

• \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\)，其中 \(F'(x) = f(x)\)
• \(\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)\)（微积分基本定理第二部分）
• \(\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)（\(n \neq -1\)）
• \(\int e^x\,dx = e^x + C\)
• \(\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C\)

易错点

• ⚠️ 忘记在计算反导数时加上常数 \(C\)，或在定积分中错误地处理常数。注意：定积分计算时常数会相消，但求不定积分时必须包含 \(C\)
• ⚠️ 在计算 \([F(x)]_a^b\) 时，顺序错误，写成 \(F(a) - F(b)\) 而不是 \(F(b) - F(a)\)，导致答案符号相反
• ⚠️ 对于分段函数或含有绝对值的函数，没有正确处理反导数，或在求反导数时忽视了定义域的限制（如 \(\ln|x|\) 中的绝对值）
• ⚠️ 在应用幂法则求反导数时，对指数为 \(-1\) 的情况处理错误，应该用 \(\ln|x|\) 而不是 \(\frac{x^0}{0}\)