8.3.5 Revolution about Horizontal/Vertical Lines (绕任意水平或竖直线旋转)

当旋转轴为y=k或x=h等非坐标轴的直线时，需调整半径函数为到旋转轴的距离，应用圆盘法或垫圈法公式

定义

绕任意水平或竖直线旋转是指当旋转轴不是 \(x\) 轴或 \(y\) 轴，而是形如 \(y=k\)（水平线）或 \(x=h\)（竖直线）的直线时，利用圆盘法或垫圈法计算旋转体体积的方法。其核心思想是将半径函数调整为曲线上的点到旋转轴的距离。对于绕 \(y=k\) 旋转，半径为 \(|f(x)-k|\)；对于绕 \(x=h\) 旋转，需要用反函数或参数化表示，半径为 \(|x-h|\)。通过这种调整，可以将问题转化为标准的圆盘法或垫圈法问题。

核心公式

• \(V = \pi \int_a^b [R(x)]^2 - [r(x)]^2 \, dx \quad \text{（垫圈法，绕水平线 } y=k \text{ 旋转）}\)
• \(V = \pi \int_a^b [f(x)-k]^2 \, dx \quad \text{（圆盘法，绕 } y=k \text{ 旋转，} f(x) \geq k \text{）}\)
• \(V = \pi \int_c^d [g(y)-h]^2 \, dy \quad \text{（圆盘法，绕 } x=h \text{ 旋转，} g(y) \geq h \text{）}\)
• \(V = \pi \int_c^d [R(y)]^2 - [r(y)]^2 \, dy \quad \text{（垫圈法，绕竖直线 } x=h \text{ 旋转）}\)
• \(\text{半径} = |\text{曲线坐标} - \text{旋转轴坐标}|\)

易错点

• ⚠️ 忘记调整半径函数：直接使用 \(f(x)\) 作为半径，而不是计算到旋转轴 \(y=k\) 的距离 \(|f(x)-k|\)，导致体积计算错误
• ⚠️ 混淆外半径和内半径的定义：在垫圈法中，未能正确识别哪条曲线离旋转轴更远（外半径）、哪条更近（内半径），特别是当旋转轴在两条曲线之间时
• ⚠️ 选择错误的积分变量：对于绕竖直线 \(x=h\) 旋转，应该对 \(y\) 积分而非对 \(x\) 积分，反之亦然，导致设置积分限和被积函数时出错
• ⚠️ 忽视旋转轴的位置对半径符号的影响：当曲线在旋转轴的两侧时，未能正确处理绝对值或分段积分