10.3.2 Comparison Tests (比较检验法)

通过与已知收敛或发散级数进行大小比较来判定级数的收敛性，包括直接比较检验和极限比较检验

定义

比较检验法是通过将待判定级数与已知收敛性的参考级数进行比较，来判断原级数收敛性的方法。该方法包括两种主要形式：

直接比较检验（Direct Comparison Test）：设 \(\sum a_n\) 和 \(\sum b_n\) 为正项级数。若对所有 \(n \geq N\)（某个正整数 \(N\)），都有 \(0 \leq a_n \leq b_n\)，则： - 若 \(\sum b_n\) 收敛，则 \(\sum a_n\) 也收敛 - 若 \(\sum a_n\) 发散，则 \(\sum b_n\) 也发散

极限比较检验（Limit Comparison Test）：设 \(\sum a_n\) 和 \(\sum b_n\) 为正项级数，且 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L\)，其中 \(L\) 为正有限常数。则 \(\sum a_n\) 和 \(\sum b_n\) 同时收敛或同时发散。

这两种方法都是通过建立待判定级数与参考级数（如 \(p\)-级数、几何级数等）之间的关系，来间接判断级数的收敛性。

核心公式

• \(["\)\text{直接比较检验：若 } 0 \leq a_n \leq b_n \text{ 对所有 } n \geq N \text{ 成立，则：} \sum b_n \text{ 收敛} \Rightarrow \sum a_n \text{ 收敛}\(", "\)\text{直接比较检验的逆向形式：若 } 0 \leq a_n \leq b_n \text{ 对所有 } n \geq N \text{ 成立，则：} \sum a_n \text{ 发散} \Rightarrow \sum b_n \text{ 发散}\(", "\)\text{极限比较检验：若 } \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L > 0 \text{（有限常数），则 } \sum a_n \text{ 和 } \sum b_n \text{ 同时收敛或同时发散}\(", "\)p\text{-级数参考：} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \text{ 当 } p > 1 \text{ 时收敛，当 } p \leq 1 \text{ 时发散}\(", "\)\text{几何级数参考：} \sum_{n=0}^{\infty} ar^n \text{ 当 } |r| < 1 \text{ 时收敛，当 } |r| \geq 1 \text{ 时发散}\("]\)

易错点

• ⚠️ ["混淆直接比较检验的方向：学生常错误地认为若 \(a_n \leq b_n\) 且 \(\sum a_n\) 收敛，则 \(\sum b_n\) 收敛。实际上应该是 \(\sum b_n\) 收敛才能推出 \(\sum a_n\) 收敛。", "在极限比较检验中忽视极限值的条件：学生可能忘记极限 \(L\) 必须是正的有限常数。若 \(L = 0\) 或 \(L = \infty\)，结论不同；若极限不存在，该检验法不适用。", "选择不恰当的参考级数：学生在应用比较检验时，可能选择了不合适的参考级数，导致无法进行有效比较。应该选择与原级数通项渐近行为相似的参考级数（如 \(p\)-级数或几何级数）。", "对非正项级数直接应用比较检验：比较检验法要求级数为正项级数。学生有时会对含有负项的级数直接使用该方法，应该先考虑绝对收敛或使用其他检验法。"]