3.2.1 双重复合函数求导 (Double Composition)

掌握形如 f(g(h(x))) 的双重复合函数的链式法则应用，理解逐层求导的基本方法

定义

双重复合函数求导是指对形如 \(f(g(h(x)))\) 的复合函数进行求导。设 \(u = h(x)\)，\(v = g(u)\)，\(y = f(v)\)，则双重复合函数的导数通过链式法则逐层求导得到。具体地，对于函数 \(y = f(g(h(x)))\)，其导数为各层函数导数的乘积。这是链式法则在多层复合函数中的应用，要求学生能够识别复合函数的层次结构，正确应用链式法则进行逐层求导，并准确计算每一层的导数。

核心公式

• \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)
• \(\frac{d}{dx}[f(g(h(x)))] = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)\)
• \(\frac{dy}{dx} = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)\)
• \([f \circ g \circ h]'(x) = [f' \circ g \circ h](x) \cdot [g' \circ h](x) \cdot h'(x)\)
• \(\frac{d}{dx}[\sin(e^{x^2})] = \cos(e^{x^2}) \cdot e^{x^2} \cdot 2x\)

易错点

• ⚠️ 忘记在求导过程中应用链式法则的所有层次，只对外层函数求导而忽略内层函数的导数
• ⚠️ 在计算中间层导数时，将导数代入错误的位置，例如将 \(g'(h(x))\) 误写为 \(g'(x)\)，导致函数参数混乱
• ⚠️ 对复合函数的层次结构识别不清，无法正确判断哪个是外层函数、哪个是中层函数、哪个是内层函数，导致求导顺序错误
• ⚠️ 在最后化简结果时，忘记将中间变量代回原变量，或在代入过程中出现代数错误