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2.5.4 Chain Rule with Trigonometric Functions

将链式法则应用于复合三角函数的求导，如求 sin(f(x))、cos(ax+b) 等复合函数的导数

定义

链式法则与三角函数的复合求导是指当三角函数的自变量本身是另一个函数时，使用链式法则进行求导。具体地，如果 \(u = f(x)\) 是可导函数，那么复合三角函数 \(y = \sin(u)\)、\(y = \cos(u)\)、\(y = \tan(u)\) 等的导数可以通过链式法则求得。链式法则的基本形式为：若 \(y = g(u)\) 且 \(u = f(x)\)，则 \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)。对于三角函数，这意味着先对三角函数求导，再乘以内层函数的导数。例如，\(\frac{d}{dx}[\sin(f(x))] = \cos(f(x)) \cdot f'(x)\)。这个方法适用于所有三角函数及其反三角函数的复合形式。

核心公式

  • \(\frac{d}{dx}[\sin(u)] = \cos(u) \cdot \frac{du}{dx}\)
  • \(\frac{d}{dx}[\cos(u)] = -\sin(u) \cdot \frac{du}{dx}\)
  • \(\frac{d}{dx}[\tan(u)] = \sec^2(u) \cdot \frac{du}{dx}\)
  • \(\frac{d}{dx}[\cot(u)] = -\csc^2(u) \cdot \frac{du}{dx}\)
  • \(\frac{d}{dx}[\sec(u)] = \sec(u)\tan(u) \cdot \frac{du}{dx}\)

易错点

  • ⚠️ 忘记乘以内层函数的导数：学生常常只对外层三角函数求导，忽略了链式法则中必须乘以 \(f'(x)\) 的步骤。例如，错误地写成 \(\frac{d}{dx}[\sin(2x)] = \cos(2x)\)，而不是 \(2\cos(2x)\)
  • ⚠️ 对三角函数的导数记忆错误：混淆 \(\sin\) 和 \(\cos\) 的导数符号，或者记错 \(\tan\)、\(\cot\)、\(\sec\)、\(\csc\) 的导数形式，特别是负号的位置
  • ⚠️ 在复杂复合函数中应用链式法则不彻底：当有多层复合（如 \(\sin(\cos(x^2))\)）时，学生可能只应用一次链式法则，而没有继续对内层函数求导
  • ⚠️ 混淆反三角函数和三角函数的导数：将 \(\frac{d}{dx}[\arcsin(u)]\) 的导数与 \(\frac{d}{dx}[\sin(u)]\) 的导数混淆，导致公式应用错误