10.5.5 幂级数的运算 (Operations on Power Series)

幂级数的加法、减法、乘法运算及其收敛域的关系

定义

幂级数的运算是指对两个或多个幂级数进行加法、减法、乘法等代数运算。设两个幂级数为 \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-c)^n\) 和 \(\sum_{n=0}^{\infty} b_n(x-c)^n\)，它们分别在 \(|x-c| < R_1\) 和 \(|x-c| < R_2\) 内收敛。

加法和减法：两个幂级数的和（或差）为 \(\sum_{n=0}^{\infty} (a_n \pm b_n)(x-c)^n\)，其收敛域为两个原级数收敛域的交集，即 \(|x-c| < \min(R_1, R_2)\)。

乘法：两个幂级数的乘积（Cauchy乘积）为 \(\sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-c)^n\)，其中 \(c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}\)，收敛域至少为 \(|x-c| < \min(R_1, R_2)\)。

除法：若 \(b_0 \neq 0\)，两个幂级数的商也可以表示为幂级数形式，其收敛域由 \(b(x)\) 的零点决定。

微分和积分：幂级数在其收敛域内可以逐项求导和逐项积分，得到的新级数收敛域相同（端点处可能不同）。

核心公式

• \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-c)^n + \sum_{n=0}^{\infty} b_n(x-c)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (a_n + b_n)(x-c)^n, \quad |x-c| < \min(R_1, R_2)\)
• \(\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-c)^n\right) \cdot \left(\sum_{n=0}^{\infty} b_n(x-c)^n\right) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-c)^n, \quad c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}\)
• \(\frac{d}{dx}\left[\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-c)^n\right] = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n(x-c)^{n-1}, \quad |x-c| < R\)
• \(\int \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-c)^n \, dx = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}(x-c)^{n+1} + C, \quad |x-c| < R\)
• \(\text{收敛半径：} R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}} \text{ 或 } R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\)

易错点

• ⚠️ 混淆加法和乘法的收敛域：加法/减法的收敛域是两个原级数收敛域的交集，而乘法的收敛域至少是交集，但可能更大。学生常误认为乘法后收敛域会扩大。
• ⚠️ 在进行幂级数乘法时，错误地逐项相乘而不是使用Cauchy乘积公式。例如，错误地写成 \(\sum a_n b_n(x-c)^{2n}\) 而不是正确的 \(\sum_{n=0}^{\infty} (\sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k})(x-c)^n\)。
• ⚠️ 忽视端点处的收敛性变化：逐项求导后，级数在原来的端点处可能不再收敛；逐项积分后，端点处的收敛性可能改变。
• ⚠️ 在计算商级数时，忘记检查分母级数的常数项是否为零。若 \(b_0 = 0\)，则不能直接进行幂级数除法，需要先提取公因子。