8.4.2 绕 y 轴旋转（Shell Method）

应用柱壳法计算区域绕 y 轴旋转形成的旋转体体积，使用 x 作为积分变量

定义

柱壳法（Shell Method）是计算旋转体体积的一种方法。当区域绕 y 轴旋转时，我们将区域分解为竖直的条形（垂直于 x 轴），每条竖直条形绕 y 轴旋转形成一个圆柱壳。设区域由曲线 \(y = f(x)\)、\(y = g(x)\)（其中 \(f(x) \geq g(x)\)）以及直线 \(x = a\)、\(x = b\) 围成，当这个区域绕 y 轴旋转时，位于 \(x\) 处、厚度为 \(dx\) 的竖直条形旋转后形成的圆柱壳的体积为 \(dV = 2\pi x \cdot [f(x) - g(x)] \cdot dx\)，其中 \(x\) 是条形到旋转轴（y 轴）的距离，\(f(x) - g(x)\) 是条形的高度。通过对所有圆柱壳的体积进行积分，得到整个旋转体的体积。

核心公式

• \(V = 2\pi \int_a^b x \cdot [f(x) - g(x)] \, dx\)
• \(dV = 2\pi \cdot \text{(radius)} \cdot \text{(height)} \cdot \text{(thickness)} = 2\pi x \cdot h(x) \cdot dx\)
• \(V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x) \, dx \quad \text{（当下边界为 } x \text{ 轴时）}\)
• \(\text{圆柱壳表面积} = 2\pi \cdot \text{radius} \cdot \text{height}\)
• \(V = 2\pi \int_a^b (\text{distance to axis}) \cdot (\text{height of shell}) \, dx\)

易错点

• ⚠️ 混淆半径和高度：学生常常将圆柱壳的半径（到 y 轴的距离 \(x\)）与高度（\(f(x) - g(x)\)）搞反，导致公式错误。正确的做法是半径总是 \(x\)，高度是函数值的差。
• ⚠️ 忽视积分限的正确性：当区域不是从 \(x = 0\) 开始时，学生容易使用错误的积分上下限。必须确保积分限 \(a\) 和 \(b\) 对应于区域在 x 轴上的实际范围。
• ⚠️ 在绕 y 轴旋转时仍使用 Disk/Washer Method：学生有时会混淆何时使用柱壳法。绕 y 轴旋转且以 \(x\) 为积分变量时应该使用柱壳法，而不是圆盘法。
• ⚠️ 忘记系数 \(2\pi\)：柱壳法的公式中 \(2\pi\) 是必需的，它来自圆周长公式 \(2\pi r\)。学生有时会遗漏这个系数或错误地使用 \(\pi\) 或 \(4\pi\)。