9.5.4 Integrals of Vector Functions¶

向量函数的不定积分和定积分的定义、计算方法及其应用

定义¶

向量函数的积分是指对向量函数的每个分量分别进行积分。设向量函数 $\mathbf{r}(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle$（二维情况为 $\mathbf{r}(t) = \langle f(t), g(t) \rangle$），则：

不定积分：向量函数 $\mathbf{r}(t)$ 的不定积分定义为 $\int \mathbf{r}(t) \, dt = \langle \int f(t) \, dt, \int g(t) \, dt, \int h(t) \, dt \rangle + \mathbf{C}$，其中 $\mathbf{C}$ 是常向量。

定积分：向量函数 $\mathbf{r}(t)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分定义为 $\int_a^b \mathbf{r}(t) \, dt = \langle \int_a^b f(t) \, dt, \int_a^b g(t) \, dt, \int_a^b h(t) \, dt \rangle$，即对每个分量分别在 $[a,b]$ 上积分。

向量函数的积分在物理学中有重要应用：若 $\mathbf{v}(t)$ 表示速度向量，则 $\int_a^b \mathbf{v}(t) \, dt$ 表示位移向量；若 $\mathbf{a}(t)$ 表示加速度向量，则 $\int_a^b \mathbf{a}(t) \, dt$ 表示速度的变化。

核心公式¶

$["$\int \mathbf{r}(t) \, dt = \langle \int f(t) \, dt, \int g(t) \, dt, \int h(t) \, dt \rangle + \mathbf{C}$", "$\int_a^b \mathbf{r}(t) \, dt = \langle \int_a^b f(t) \, dt, \int_a^b g(t) \, dt, \int_a^b h(t) \, dt \rangle$", "$\frac{d}{dt}\left[\int \mathbf{r}(t) \, dt\right] = \mathbf{r}(t)$", "$\int_a^b c \mathbf{r}(t) \, dt = c \int_a^b \mathbf{r}(t) \, dt$（其中 $c$ 为常数）", "$\int_a^b [\mathbf{r}(t) + \mathbf{s}(t)] \, dt = \int_a^b \mathbf{r}(t) \, dt + \int_a^b \mathbf{s}(t) \, dt$"]$

易错点¶

⚠️ ["忘记在不定积分中添加常向量 $\mathbf{C}$，或者将常向量写成标量而非向量形式，导致答案不完整或形式错误", "在计算向量函数的定积分时，混淆向量的模长与向量本身，错误地对向量的模长进行积分而不是对各分量分别积分", "在应用物理意义时，混淆位移与路程的概念，错误地认为 $\int_a^b \mathbf{v}(t) \, dt$ 的模长等于路程，而实际上它只表示位移的大小", "在处理参数方程对应的向量函数时，忘记在计算定积分时使用正确的参数范围，或者混淆参数 $t$ 与其他变量的积分限"]