5.3.4 函数的增减区间分析¶

通过求导并分析导数符号，确定函数在定义域内的所有递增区间和递减区间

定义¶

函数的增减区间分析是指通过求导并分析导数符号来确定函数在定义域内的单调性。具体地，设函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，则： - 当 $f'(x) > 0$ 对所有 $x \in (a,b)$ 成立时，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上严格递增； - 当 $f'(x) < 0$ 对所有 $x \in (a,b)$ 成立时，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上严格递减； - 当 $f'(x) = 0$ 时，$x$ 为函数的临界点（critical point），可能是极值点或拐点。

增减区间分析的核心步骤包括：(1) 求导数 $f'(x)$；(2) 找出所有临界点和不可导点；(3) 用临界点分割定义域；(4) 在各区间内判断导数符号；(5) 确定函数的增减区间。

核心公式¶

$["$f'(x) > 0 \Rightarrow f(x) \text{ 在该区间上递增}", "$f'(x) < 0 \Rightarrow f(x) \text{ 在该区间上递减}", "$f'(x) = 0 \text{ 或 } f'(x) \text{ 不存在} \Rightarrow x \text{ 为临界点}", "$\text{若 } f'(x) \text{ 在 } x=c \text{ 处从正变负，则 } f(c) \text{ 为极大值}", "$\text{若 } f'(x) \text{ 在 } x=c \text{ 处从负变正，则 } f(c) \text{ 为极小值}"]$

易错点¶

⚠️ 忽视定义域限制：学生常常只关注导数为零的点，而忽视函数的定义域端点和不可导点，导致增减区间不完整或错误
⚠️ 混淆临界点与极值点：并非所有临界点都是极值点（如拐点处 $f'(x)=0$ 但不是极值），需要通过导数符号变化判断
⚠️ 导数符号判断错误：在用测试点判断导数符号时，选择的测试点不在正确的区间内，或计算导数值时出现符号错误
⚠️ 忽视端点处的单调性：在闭区间上分析单调性时，应该在开区间内判断导数符号，但在表述增减区间时需要包含端点（如 $[a,b]$ 而非 $(a,b)$）