9.2.2 参数曲线的切线 (Tangent Lines to Parametric Curves)¶

利用参数曲线的导数求切线方程，包括水平切线和垂直切线的判定条件

定义¶

参数曲线的切线是指曲线在某一点处的瞬时变化方向。对于参数方程 $x = f(t)$，$y = g(t)$，曲线上任意一点 $(x(t), y(t))$ 处的切线斜率由参数导数的比值确定。具体地，切线的斜率为 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$（当 $\frac{dx}{dt} \neq 0$ 时）。切线方程为 $y - y_0 = \frac{dy}{dx}\bigg|_{t=t_0}(x - x_0)$，其中 $(x_0, y_0)$ 是曲线上对应参数 $t_0$ 的点。水平切线出现在 $\frac{dy}{dt} = 0$ 且 $\frac{dx}{dt} \neq 0$ 时；垂直切线出现在 $\frac{dx}{dt} = 0$ 且 $\frac{dy}{dt} \neq 0$ 时。

核心公式¶

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{g'(t)}{f'(t)}$（当 $f'(t) \neq 0$ 时）
$y - y_0 = \frac{dy}{dx}\bigg|_{t=t_0}(x - x_0)$
$水平切线条件：$\frac{dy}{dt} = 0$ 且 $\frac{dx}{dt} \neq 0$$
$垂直切线条件：$\frac{dx}{dt} = 0$ 且 $\frac{dy}{dt} \neq 0$$
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}} = \frac{g''(t)f'(t) - g'(t)f''(t)}{[f'(t)]^3}$

易错点¶

⚠️ 混淆 $\frac{dy}{dx}$ 与 $\frac{dy}{dt}$ 或 $\frac{dx}{dt}$：学生常错误地将 $\frac{dy}{dt}$ 直接作为切线斜率，忽视了需要除以 $\frac{dx}{dt}$ 的步骤。
⚠️ 在求水平或垂直切线时判断条件错误：水平切线要求分子为零（$\frac{dy}{dt} = 0$）但分母不为零，垂直切线要求分母为零（$\frac{dx}{dt} = 0$）但分子不为零。学生常忽视第二个条件，导致错误判断。
⚠️ 未正确代入参数值求具体点的坐标：学生求出切线斜率后，常忘记将对应的参数值 $t_0$ 代入 $x = f(t)$ 和 $y = g(t)$ 来获得切点坐标 $(x_0, y_0)$，导致切线方程不完整或错误。
⚠️ 在二阶导数计算中出错：计算 $\frac{d^2y}{dx^2}$ 时，学生常错误地对 $\frac{dy}{dx}$ 直接求导，而忽视了需要除以 $\frac{dx}{dt}$ 的链式法则应用。