1.4.4 One-Sided Infinite Limits（单侧无穷极限）

区分从左侧和右侧趋近时函数趋向正无穷或负无穷的不同情况，掌握lim(x→a⁺) f(x)和lim(x→a⁻) f(x)的计算

定义

单侧无穷极限是指当自变量从某一侧（左侧或右侧）趋近于某个点时，函数值趋向于正无穷或负无穷的现象。具体地：

右侧无穷极限：记为 \(\lim_{x \to a^+} f(x) = +\infty\)（或 \(-\infty\)），表示当 \(x\) 从 \(a\) 的右侧趋近于 \(a\) 时（即 \(x > a\) 且 \(x \to a\)），函数值 \(f(x)\) 趋向于正无穷（或负无穷）。

左侧无穷极限：记为 \(\lim_{x \to a^-} f(x) = +\infty\)（或 \(-\infty\)），表示当 \(x\) 从 \(a\) 的左侧趋近于 \(a\) 时（即 \(x < a\) 且 \(x \to a\)），函数值 \(f(x)\) 趋向于正无穷（或负无穷）。

单侧无穷极限通常出现在有垂直渐近线的函数处，如有理函数在分母为零的点处。两个单侧极限可能相同（都趋向 \(+\infty\) 或都趋向 \(-\infty\)），也可能不同（一侧趋向 \(+\infty\)，另一侧趋向 \(-\infty\)）。

核心公式

• \(\lim_{x \to a^+} f(x) = +\infty\)（右侧趋向正无穷）
• \(\lim_{x \to a^-} f(x) = -\infty\)（左侧趋向负无穷）
• \(\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = L \Rightarrow \lim_{x \to a} f(x) = L\)（两侧极限相等时，双侧极限存在）
• \(\lim_{x \to a^+} \frac{1}{x-a} = +\infty\)（当 \(x \to a^+\) 时）
• \(\lim_{x \to a^-} \frac{1}{x-a} = -\infty\)（当 \(x \to a^-\) 时）

易错点

• ⚠️ 混淆左右极限的方向：学生常常弄反 \(x \to a^+\) 和 \(x \to a^-\) 的含义，导致判断极限趋向的方向错误。记住 \(a^+\) 表示从右侧接近，\(a^-\) 表示从左侧接近。
• ⚠️ 忽视两侧极限的差异：学生可能假设两个单侧极限必然相同，但实际上它们可能趋向不同的无穷（如 \(\frac{1}{x}\) 在 \(x=0\) 处，左侧趋向 \(-\infty\)，右侧趋向 \(+\infty\)）。
• ⚠️ 在计算有理函数极限时符号判断错误：确定分子分母的符号时出错，导致无穷极限的正负号判断错误。需要仔细分析在 \(a^+\) 和 \(a^-\) 两侧分子分母各自的正负。
• ⚠️ 误认为单侧极限存在意味着双侧极限存在：只有当 \(\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x)\) 时，双侧极限 \(\lim_{x \to a} f(x)\) 才存在。若两侧极限不相等，双侧极限不存在。