2.2.5 Relationship between Differentiability and Continuity

可微性与连续性的几何关系：可微必连续，但连续不一定可微（如尖点、垂直切线等情况）

定义

可微性与连续性的关系是微积分中的基本概念。可微性是指函数在某点处存在导数，即 \(f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) 存在且有限。连续性是指函数在某点处的极限值等于函数值，即 \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\)。

核心关系： 1. 可微必连续：如果函数 \(f(x)\) 在点 \(x=a\) 处可微，则 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 处必然连续。这是因为可微性要求导数存在，而导数存在蕴含了函数的连续性。

1. 连续不一定可微：函数在某点连续不保证在该点可微。存在连续但不可微的函数，典型情况包括：
2. 尖点（Corner）：函数在该点连续，但左导数和右导数不相等，如 \(f(x) = |x|\) 在 \(x=0\) 处
3. 垂直切线（Vertical Tangent）：函数在该点连续，但导数趋于无穷，如 \(f(x) = \sqrt[3]{x}\) 在 \(x=0\) 处
4. 震荡不光滑点：函数在该点连续，但导数不存在，如 \(f(x) = x\sin(\frac{1}{x})\)（\(x \neq 0\)）在 \(x=0\) 处

几何上，可微意味着函数图像在该点有唯一确定的、非垂直的切线；而连续只要求函数图像不间断。

核心公式

• \(["\)f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ （导数的定义）", "\(f'_-(a) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) 和 \(f'_+(a) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) （左导数和右导数）", "\(\\text{若} f \\text{在} x=a \\text{处可微} \\Rightarrow f \\text{在} x=a \\text{处连续}\) （可微必连续）", "\(\\lim_{x \\to a} f(x) = f(a)\) （连续的定义）", "\(f'_-(a) \\neq f'_+(a) \\Rightarrow f \\text{在} x=a \\text{处不可微}\) （判断不可微的充分条件）"]$

易错点

• ⚠️ 混淆因果关系：误认为连续必然可微。实际上连续是可微的必要条件而非充分条件。学生常忽视尖点、垂直切线等反例。
• ⚠️ 在判断可微性时只检查连续性：仅验证函数连续就认为可微。必须进一步检查左右导数是否相等且有限。
• ⚠️ 对尖点的理解不足：在 \(f(x)=|x|\) 这样的函数中，学生可能认为在 \(x=0\) 处可微，忽视了左导数（\(-1\)）和右导数（\(1\)）不相等的事实。
• ⚠️ 忽视垂直切线的情况：当导数趋于无穷大时（如 \(f(x)=\sqrt[3]{x}\) 在 \(x=0\)），学生可能误认为导数存在，而实际上垂直切线意味着导数不存在。