2.5.1 Derivatives of Sine and Cosine Functions

正弦函数和余弦函数的导数公式推导，包括利用极限定义和重要三角极限证明 (sin x)' = cos x 和 (cos x)' = -sin x

定义

正弦函数和余弦函数的导数是微积分中的基本导数公式。对于函数 \(f(x) = \sin x\)，其导数定义为 \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}\)。通过利用三角恒等式 \(\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h\) 和重要三角极限 \(\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1\) 以及 \(\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0\)，可以证明 \((\sin x)' = \cos x\)。类似地，对于函数 \(g(x) = \cos x\)，其导数为 \(g'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos x}{h}\)，利用三角恒等式 \(\cos(x+h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h\) 和相同的三角极限，可以证明 \((\cos x)' = -\sin x\)。这两个导数公式是所有三角函数导数的基础。

核心公式

• \(\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\)
• \(\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\)
• \(\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1\)
• \(\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0\)
• \(\sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h\)

易错点

• ⚠️ 混淆正弦和余弦的导数符号：错误地认为 \((\sin x)' = -\cos x\) 或 \((\cos x)' = \sin x\)，导致符号错误
• ⚠️ 在使用链式法则时忽视内层函数的导数：对于 \(\sin(2x)\) 或 \(\cos(3x)\) 等复合函数，只求出三角函数的导数而忘记乘以内层函数的导数
• ⚠️ 在极限证明中错误应用三角恒等式：在推导过程中不正确地使用或遗漏 \(\sin(x+h)\) 和 \(\cos(x+h)\) 的展开式，导致推导过程中断
• ⚠️ 混淆弧度制和角度制：在计算三角函数导数时，如果使用角度制而非弧度制，会导致导数公式中出现额外的常数因子 \(\frac{\pi}{180}\)