1.5.5 Removing Discontinuities

可去间断点的识别与处理，通过重新定义函数值使函数在该点连续

定义

可去间断点（Removable Discontinuity）是指函数在某点处不连续，但该点处的极限存在的情况。具体地，如果函数 \(f(x)\) 在 \(x = a\) 处满足 \(\lim_{x \to a} f(x)\) 存在但等于某个值 \(L\)，而 \(f(a)\) 要么不存在，要么 \(f(a) \neq L\)，则称 \(x = a\) 是 \(f(x)\) 的可去间断点。通过重新定义（或定义）函数在该点的值为 \(f(a) = L\)，可以使函数在 \(x = a\) 处连续。这种间断点之所以称为"可去的"，是因为它可以通过改变或定义单个点的函数值来消除。

核心公式

• \(\lim_{x \to a} f(x) = L \text{ 存在，但 } f(a) \text{ 不存在或 } f(a) \neq L\)
• \(\text{若定义 } f(a) = L = \lim_{x \to a} f(x)\text{，则 } f \text{ 在 } x = a \text{ 处连续}\)
• \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \text{（洛必达法则，当 } \frac{0}{0} \text{ 型时）}\)
• \(f \text{ 在 } x = a \text{ 处连续} \Leftrightarrow \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)\)
• \(\text{可去间断点的特征：} \lim_{x \to a} f(x) \text{ 存在且有限}\)

易错点

• ⚠️ 混淆可去间断点与不可去间断点：学生常误认为所有间断点都可以通过重新定义函数值来消除，但实际上只有当极限存在且有限时才是可去间断点。跳跃间断点和无穷间断点是不可去的。
• ⚠️ 忽视函数在该点的原始定义：在识别可去间断点时，必须检查函数在该点是否已定义。如果函数在该点未定义但极限存在，这才是可去间断点；如果函数已定义但值不等于极限，也是可去间断点。
• ⚠️ 使用洛必达法则时不检查条件：当计算 \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}\) 时，学生常忘记检查是否为 \(\frac{0}{0}\) 或 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型，直接应用洛必达法则导致错误。
• ⚠️ 错误地认为可去间断点处函数值可以任意定义：学生可能认为可以将可去间断点处的函数值定义为任何数，但实际上必须定义为极限值 \(L\) 才能使函数连续。