8.3.4 Washer Method - Revolution about y-axis (绕y轴旋转的垫圈法)

当两条曲线之间的区域绕y轴旋转时，使用垫圈法通过V=π∫[c,d][R²(y)-r²(y)]dy计算体积，需确定外半径和内半径函数

定义

垫圈法（Washer Method）是计算旋转体体积的一种方法。当平面区域（由两条曲线围成）绕y轴旋转时，使用垫圈法。具体地，设区域由曲线 \(x = R(y)\)（外曲线）和 \(x = r(y)\)（内曲线）在 \(y = c\) 到 \(y = d\) 之间围成，其中 \(R(y) \geq r(y) \geq 0\)。当该区域绕y轴旋转一周时，在高度 \(y\) 处的横截面是一个垫圈（圆环），外半径为 \(R(y)\)，内半径为 \(r(y)\)。垫圈的面积为 \(A(y) = \pi[R(y)]^2 - \pi[r(y)]^2 = \pi\{[R(y)]^2 - [r(y)]^2\}\)。通过沿y轴积分所有垫圈的面积，得到旋转体的总体积。

核心公式

• \(V = \pi \int_{c}^{d} [R(y)]^2 - [r(y)]^2 \, dy\)
• \(V = \pi \int_{c}^{d} [R(y)]^2 \, dy - \pi \int_{c}^{d} [r(y)]^2 \, dy\)
• \(A(y) = \pi\{[R(y)]^2 - [r(y)]^2\}\)
• \(V = \int_{c}^{d} A(y) \, dy = \int_{c}^{d} \pi\{[R(y)]^2 - [r(y)]^2\} \, dy\)

易错点

• ⚠️ 混淆外半径和内半径的定义：学生常常错误地将离y轴较近的曲线作为外半径，应该记住外半径 \(R(y)\) 是离旋转轴更远的曲线，内半径 \(r(y)\) 是离旋转轴更近的曲线
• ⚠️ 忘记平方项或计算 \([R(y)]^2 - [r(y)]^2\) 时出错：常见错误是写成 \(R(y) - r(y)\) 或 \([R(y) - r(y)]^2\)，而正确形式必须是两个平方项的差
• ⚠️ 积分限的确定错误：学生可能混淆积分上下限，应该根据y的取值范围确定 \(c\) 和 \(d\)，通常需要找到两条曲线的交点来确定积分区间
• ⚠️ 未正确表示曲线为y的函数：绕y轴旋转时，必须将曲线表示为 \(x = f(y)\) 的形式，而不是 \(y = f(x)\)；如果给定的是 \(y = f(x)\)，需要先求反函数或进行变量替换