8.1.4 Determining Which Function is Upper/Outer¶

判断在积分区间内哪个函数在上方或外侧，确保被积函数非负，必要时分段积分

定义¶

在计算曲线之间的面积时，需要判断在给定的积分区间内，哪个函数位于上方（或外侧）。这是因为曲线之间的面积公式要求被积函数必须非负。具体地说，对于两条曲线 $y = f(x)$ 和 $y = g(x)$，如果在区间 $[a, b]$ 上 $f(x) \geq g(x)$，则两曲线之间的面积为 $\int_a^b [f(x) - g(x)] \, dx$。当两条曲线的相对位置在不同区间内发生变化时，需要找到交点并分段积分，确保每段中上方函数减去下方函数，使被积函数始终非负。

核心公式¶

$A = \int_a^b [f(x) - g(x)] \, dx$，其中 $f(x) \geq g(x)$ 在 $[a,b]$ 上成立
$A = \int_a^c [f(x) - g(x)] \, dx + \int_c^b [g(x) - f(x)] \, dx$，当曲线在 $x=c$ 处相交时
$A = \int_c^d [x = f(y)] - [x = g(y)] \, dy$，对于按 $y$ 轴方向的积分，其中右侧函数减左侧函数
$交点条件：$f(x) = g(x)$ 用于确定分段点$
$A = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx$，使用绝对值确保被积函数非负

易错点¶

⚠️ 忘记检查曲线的相对位置是否在整个积分区间内保持不变，导致在某些区间内被积函数为负，计算出错误的面积值
⚠️ 在分段积分时，没有正确找到所有交点，或遗漏了某些交点，导致分段不完整
⚠️ 混淆了'上方'和'外侧'的概念，特别是在极坐标或参数方程中，没有正确判断哪条曲线在外侧
⚠️ 直接使用 $\int_a^b [f(x) - g(x)] \, dx$ 而不检查 $f(x) \geq g(x)$ 是否成立，当被积函数为负时得到负的面积