1.4.3 Finding Infinite Limits Algebraically（代数方法求无穷极限）¶
运用代数技巧计算有理函数、根式函数等在特定点的无穷极限，包括因式分解和分子分母次数比较
定义¶
代数方法求无穷极限是指通过因式分解、分子分母次数比较、有理化等代数技巧，计算函数在某点处趋向于无穷的极限。当 \(x\) 趋向于某个值 \(a\) 时，如果函数的分母趋向于 0 而分子不趋向于 0，则函数可能存在无穷极限。对于有理函数 \(f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}\)，其中 \(p(x)\) 和 \(q(x)\) 是多项式，当 \(x \to a\) 时，若 \(q(a) = 0\) 但 \(p(a) \neq 0\)，则 \(\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty\)（符号取决于 \(x\) 从左侧还是右侧趋向 \(a\)，以及分子分母的符号）。通过因式分解可以消除分子分母的公因子，从而化简极限的计算；通过分析分子分母在 \(x = a\) 附近的符号变化，可以确定极限的方向（正无穷或负无穷）。
核心公式¶
- \(\lim_{x \to a^+} f(x) = +\infty \text{ 或 } -\infty\)（右侧无穷极限）
- \(\lim_{x \to a^-} f(x) = +\infty \text{ 或 } -\infty\)（左侧无穷极限）
- \(\lim_{x \to a} \frac{p(x)}{q(x)} = \lim_{x \to a} \frac{(x-a)^m \cdot p_1(x)}{(x-a)^n \cdot q_1(x)}\)（因式分解后的形式，其中 \(p_1(a) \neq 0\)，\(q_1(a) \neq 0\)）
- \(\text{若 } m < n \text{，则 } \lim_{x \to a} \frac{p(x)}{q(x)} = 0\)；\(\text{若 } m = n \text{，则 } \lim_{x \to a} \frac{p(x)}{q(x)} = \frac{p_1(a)}{q_1(a)}\)；\(\text{若 } m > n \text{，则 } \lim_{x \to a} \frac{p(x)}{q(x)} = \pm\infty\)
- \(\lim_{x \to a} \frac{1}{(x-a)^k} = \pm\infty\)（其中 \(k > 0\)，符号由 \(x\) 接近 \(a\) 的方向和 \(k\) 的奇偶性决定）
易错点¶
- ⚠️ 忽视左右极限的区别：学生常常只计算单侧极限而忽视从另一侧的情况，导致无法正确判断极限是 \(+\infty\) 还是 \(-\infty\)。必须分别计算 \(\lim_{x \to a^+}\) 和 \(\lim_{x \to a^-}\)，因为它们可能不同。
- ⚠️ 因式分解后错误处理公因子：当分子分母有公因子 \((x-a)\) 时，学生可能会直接约掉而忽视约掉后的结果。应该先确定分子分母中 \((x-a)\) 的次数，若分母的次数更高，约掉后分母仍含 \((x-a)\)，极限才是无穷。
- ⚠️ 混淆分子分母的次数关系：在有理函数中，学生可能错误地比较多项式的最高次项系数而非次数本身。正确的做法是比较分子分母的最高次数：若分母次数更高，极限为 0；若分子次数更高，极限为无穷。
- ⚠️ 符号判断错误：确定 \(+\infty\) 还是 \(-\infty\) 时，学生常常只看分子或分母的符号，而忽视两者的符号乘积。应该在 \(x\) 接近 \(a\) 时，分别判断分子和分母的正负号，然后确定商的符号。