7.5.3 Integration and General Solution

对分离后的方程两边积分求通解，包括积分常数的处理

定义

分离变量微分方程的积分与通解是指：对于已分离的微分方程 \(\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)\)，通过分离变量得到 \(\frac{dy}{h(y)} = g(x)dx\) 后，对方程两边同时积分求解。具体地，对左边关于 \(y\) 积分，对右边关于 \(x\) 积分，得到 \(\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)dx\)。在积分过程中，由于不定积分包含任意常数，因此在等式右边添加一个积分常数 \(C\)（或 \(+C_1 - C_2\) 等形式），从而得到微分方程的通解（General Solution）。通解包含一个任意常数，表示满足该微分方程的所有解的族。若给定初始条件 \(y(x_0) = y_0\)，则可以确定常数 \(C\) 的具体值，得到特解（Particular Solution）。

核心公式

• \(\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)dx + C\)
• \(F(y) = G(x) + C\)，其中 \(F(y) = \int \frac{dy}{h(y)}\)，\(G(x) = \int g(x)dx\)
• \(y(x_0) = y_0 \Rightarrow F(y_0) = G(x_0) + C \Rightarrow C = F(y_0) - G(x_0)\)
• \(\frac{dy}{dx} = f(x,y)\) 的通解形式为 \(\Phi(x,y,C) = 0\)，其中 \(C\) 为任意常数
• \(\int \frac{1}{h(y)}dy = \int g(x)dx\) 中，若 \(h(y) = 0\) 在某点 \(y = y_0\)，则 \(y = y_0\) 可能是奇解（Singular Solution）

易错点

• ⚠️ 忘记在积分后添加积分常数 \(C\)，导致只得到一个特解而非通解。正确做法是在右边积分结果后必须加上 \(+C\)
• ⚠️ 在处理积分常数时，将两边的常数分别记为 \(C_1\) 和 \(C_2\)，然后写成 \(F(y) - C_1 = G(x) - C_2\)，最后合并为单一常数 \(C = C_2 - C_1\)，但有时学生会错误地处理常数的合并或遗漏
• ⚠️ 在求特解时，代入初始条件 \(y(x_0) = y_0\) 后，错误地求解常数 \(C\)，例如符号错误或代入错误的函数值
• ⚠️ 忽视被积函数的定义域问题，特别是当 \(h(y) = 0\) 时，不能直接进行分离变量，此时 \(y = y_0\)（使 \(h(y_0) = 0\) 的点）可能是奇解，需要单独验证