6.4.5 Applications of FTC Part 1¶

应用微积分基本定理第一部分解决实际问题，包括求极值、分析单调性和凹凸性等

定义¶

微积分基本定理第一部分（FTC Part 1）的应用是指利用导数与积分的关系来解决实际问题。具体地，如果函数 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，即 $F'(x) = f(x)$，那么可以通过分析 $f(x)$ 的符号和性质来研究 $F(x)$ 的性质。在实际应用中，常见的问题包括：（1）利用导数的符号判断函数的单调性；（2）利用导数的零点和符号变化找极值；（3）利用二阶导数判断函数的凹凸性；（4）分析累积函数的变化趋势和最大最小值。这些应用广泛存在于物理、经济、生物等领域中的速度、加速度、边际成本等问题中。

核心公式¶

$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$
$F'(x) = f(x) \Rightarrow F(x) = \int f(x)\,dx + C$
$若 $f(x) > 0$ 在 $(a,b)$ 上，则 $F(x)$ 在 $(a,b)$ 上单调递增$
$若 $f'(x) = 0$ 且 $f(x)$ 在该点两侧变号，则 $x$ 是 $f(x)$ 的极值点$
$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$，其中 $F'(x) = f(x)$

易错点¶

⚠️ 混淆累积函数 $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ 的导数与原函数的导数，错误地认为 $A'(x) = F'(x)$ 而不是 $A'(x) = f(x)$
⚠️ 在判断极值时，仅找到导数为零的点而忽视检验导数在该点两侧的符号变化，导致无法区分极大值、极小值和拐点
⚠️ 在分析累积函数的最大值时，错误地在端点处取值，而忽视了内部临界点可能给出的最大值
⚠️ 对于分段函数或含有绝对值的函数，在应用 FTC 时没有正确处理不连续点或不可导点，导致结论错误