5.5.4 Critical Points and Extrema (临界点与极值)

利用一阶导数找出临界点，结合导数测试确定局部极大值和极小值的位置

定义

临界点是函数 \(f(x)\) 在其定义域内满足 \(f'(x) = 0\) 或 \(f'(x)\) 不存在的点。极值是指函数在某个区间内的最大值或最小值。局部极大值（local maximum）是指在某点 \(x = c\) 处，存在包含 \(c\) 的开区间使得 \(f(c) \geq f(x)\) 对该区间内所有 \(x\) 成立；局部极小值（local minimum）是指在某点 \(x = c\) 处，存在包含 \(c\) 的开区间使得 \(f(c) \leq f(x)\) 对该区间内所有 \(x\) 成立。利用一阶导数测试（First Derivative Test）可以判断临界点两侧导数的符号变化，从而确定该点是极大值、极小值还是拐点。

核心公式

• \(f'(c) = 0 \text{ 或 } f'(c) \text{ 不存在} \Rightarrow c \text{ 是临界点}\)
• \(\text{第一阶导数测试：若 } f'(x) \text{ 在 } c \text{ 处从正变负，则 } f(c) \text{ 是局部极大值}\)
• \(\text{第一阶导数测试：若 } f'(x) \text{ 在 } c \text{ 处从负变正，则 } f(c) \text{ 是局部极小值}\)
• \(\text{第二阶导数测试：若 } f'(c) = 0 \text{ 且 } f''(c) < 0，\text{则 } f(c) \text{ 是局部极大值}\)
• \(\text{第二阶导数测试：若 } f'(c) = 0 \text{ 且 } f''(c) > 0，\text{则 } f(c) \text{ 是局部极小值}\)

易错点

• ⚠️ 混淆临界点与极值点：并非所有临界点都是极值点。当导数在临界点两侧不改变符号时，该点是拐点而非极值点，学生常忽视这一点。
• ⚠️ 忽视导数不存在的点：学生往往只寻找 \(f'(x) = 0\) 的点，而忽视了导数不存在（如尖点、垂直切线）的位置，这些位置也可能是临界点和极值点。
• ⚠️ 第二阶导数测试的局限性：当 \(f''(c) = 0\) 时，第二阶导数测试失效，学生需要回到第一阶导数测试或检查更高阶导数，但常常错误地下结论。
• ⚠️ 端点与内部极值的混淆：在闭区间上求最大最小值时，学生需要比较临界点处和端点处的函数值，但常常只关注临界点而忽视端点。