8.2.6 截面垂直于y轴的情况

掌握当截面垂直于y轴时，使用V=∫A(y)dy形式进行体积计算的方法

定义

截面垂直于y轴的体积计算是指当立体图形的截面（垂直于y轴的平面）的面积可以表示为y的函数\(A(y)\)时，使用积分方法计算体积。设在区间\([c, d]\)上，垂直于y轴的截面面积为\(A(y)\)，则该立体的体积为沿y轴方向所有截面面积的累加。这种方法适用于当用\(x\)表示截面面积较为复杂，而用\(y\)表示更简洁的情况。

核心公式

• \(V = \int_c^d A(y) \, dy\)
• $A(y) = $ 在高度\(y\)处垂直于y轴的截面面积
• \(V = \int_c^d \pi [R(y)]^2 \, dy\) （绕y轴旋转体）
• \(V = \int_c^d \pi \{[R(y)]^2 - [r(y)]^2\} \, dy\) （绕y轴旋转体，圆环截面）
• \(\Delta V \approx A(y) \, \Delta y\) （体积元素）

易错点

• ⚠️ 混淆积分变量：忘记将积分变量从\(x\)改为\(y\)，导致在求截面面积\(A(y)\)时仍然用\(x\)的表达式，或在设置积分限时使用\(x\)的范围而非\(y\)的范围
• ⚠️ 截面面积表达式错误：未能正确识别在高度\(y\)处的截面形状，或在计算面积时遗漏了某些部分（如计算圆环面积时忘记减去内圆面积）
• ⚠️ 积分限设置错误：未能准确确定\(y\)的取值范围\([c, d]\)，特别是在涉及多条曲线的问题中，可能混淆了不同曲线对应的\(y\)值范围
• ⚠️ 旋转体问题中的半径确定错误：在绕y轴旋转时，误将\(y\)值当作半径，或未能正确从曲线方程中解出\(x\)关于\(y\)的表达式来确定旋转半径\(R(y)\)