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8.5.2 Arc Length Formula for x=g(y)

推导并应用函数x=g(y)形式的弧长公式L=∫√(1+(dx/dy)²)dy

定义

当函数以 \(x=g(y)\) 的形式给出时，弧长公式用于计算曲线在给定 \(y\) 值范围内的长度。设 \(x=g(y)\) 在 \([c,d]\) 上连续可导，则曲线从点 \((g(c),c)\) 到点 \((g(d),d)\) 的弧长为：曲线上相邻两点间的距离微元为 \(ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}\)，由于 \(dx=g'(y)dy\)，因此 \(ds=\sqrt{1+(g'(y))^2}dy\)，对其在 \([c,d]\) 上积分得到总弧长。这个公式特别适用于曲线难以表示为 \(y=f(x)\) 形式，但容易表示为 \(x=g(y)\) 形式的情况。

核心公式

  • \(L = \int_c^d \sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2} \, dy\)
  • \(L = \int_c^d \sqrt{1+(g'(y))^2} \, dy\)
  • \(ds = \sqrt{1+\left(\frac{dx}{dy}\right)^2} \, dy\)
  • \(\frac{dx}{dy} = g'(y)\)
  • \(L = \int_c^d \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2}\)

易错点

  • ⚠️ 混淆积分变量：学生常错误地使用 \(\int_a^b \sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2} dx\) 而非 \(dy\)，导致积分设置错误
  • ⚠️ 忘记求导：在应用公式前未正确计算 \(\frac{dx}{dy}\)，或将其与 \(\frac{dy}{dx}\) 混淆，导致被积函数错误
  • ⚠️ 积分限混乱：当 \(x=g(y)\) 时，积分限应该是 \(y\) 的范围 \([c,d]\)，而不是 \(x\) 的范围，学生常颠倒这两者
  • ⚠️ 代数化简错误：在计算 \(\sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2}\) 时，学生常在平方和化简过程中出错，特别是当 \(\frac{dx}{dy}\) 是分数或复杂表达式时