4.5.3 Transforming Other Indeterminate Forms

将0·∞、∞-∞等其他不定式通过代数变换转化为0/0或∞/∞型以应用洛必达法则

定义

在应用洛必达法则时，不是所有的不定式都能直接表示为 \(\frac{0}{0}\) 或 \(\frac{\infty}{\infty}\) 的形式。对于其他类型的不定式（如 \(0 \cdot \infty\)、\(\infty - \infty\)、\(0^0\)、\(1^\infty\)、\(\infty^0\) 等），需要通过代数变换将其转化为洛必达法则适用的形式。常见的变换方法包括：(1) 对于 \(0 \cdot \infty\) 型，将乘积改写为分数形式；(2) 对于 \(\infty - \infty\) 型，通过通分或有理化等方法转化为分数形式；(3) 对于幂指型不定式（\(0^0\)、\(1^\infty\)、\(\infty^0\)），利用对数变换将其转化为 \(0 \cdot \infty\) 或 \(\infty - \infty\) 型。这些变换的目的是使极限问题能够应用洛必达法则求解。

核心公式

• \(\lim_{x \to a} f(x) \cdot g(x) = 0 \cdot \infty \Rightarrow \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}} \text{ 或 } \lim_{x \to a} \frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}\)
• \(\lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = \infty - \infty \Rightarrow \lim_{x \to a} \frac{f(x) - g(x)}{1} \text{ 或通过通分转化}\)
• \(\lim_{x \to a} [f(x)]^{g(x)} = 1^\infty \Rightarrow \lim_{x \to a} e^{g(x) \ln f(x)} = e^{\lim_{x \to a} g(x) \ln f(x)}\)
• \(\lim_{x \to a} [f(x)]^{g(x)} = 0^0 \text{ 或 } \infty^0 \Rightarrow \lim_{x \to a} e^{g(x) \ln f(x)}\)
• \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \text{ 或 } \frac{\infty}{\infty} \Rightarrow \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \text{ (洛必达法则)}\)

易错点

• ⚠️ 忘记检验变换后的极限形式是否为 \(\frac{0}{0}\) 或 \(\frac{\infty}{\infty}\)，直接应用洛必达法则。例如，对于 \(0 \cdot \infty\) 型，如果变换后仍为不定式但不是这两种形式，则不能应用洛必达法则。
• ⚠️ 在处理 \(\infty - \infty\) 型时，通过通分或有理化后，没有正确化简分子或分母，导致极限形式判断错误。例如，\(\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+1} - x)\) 应该先有理化，而不是直接通分。
• ⚠️ 对于幂指型不定式，忘记取对数后需要求指数函数的极限。即求出 \(\lim_{x \to a} g(x) \ln f(x)\) 后，最终答案应该是 \(e^{\text{该极限值}}\)，而不是直接使用该极限值。
• ⚠️ 在应用洛必达法则后，如果得到的新极限仍然是不定式，没有继续应用洛必达法则或改用其他方法，而是错误地认为极限不存在。