9.5.3 Derivatives of Vector Functions¶

向量函数的导数定义、求导法则以及切向量的几何意义

定义¶

向量函数的导数是指向量函数在某一点处的变化率。设向量函数 \(\mathbf{r}(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle\)（在二维情况下为 \(\mathbf{r}(t) = \langle f(t), g(t) \rangle\)），则其导数定义为：

\[\mathbf{r}'(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\mathbf{r}(t + \Delta t) - \mathbf{r}(t)}{\Delta t}\]

当极限存在时，向量函数在点 \(t\) 处可导。导数向量 \(\mathbf{r}'(t)\) 的各分量分别是原向量函数各分量的导数，即：

\[\mathbf{r}'(t) = \langle f'(t), g'(t), h'(t) \rangle\]

几何意义上，\(\mathbf{r}'(t)\) 表示曲线在参数值 \(t\) 处的切向量，其方向指向曲线运动的方向，其大小 \(|\mathbf{r}'(t)|\) 表示曲线在该点处的速度大小。

\(\mathbf{r}'(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\mathbf{r}(t + \Delta t) - \mathbf{r}(t)}{\Delta t}\)
\(\mathbf{r}'(t) = \langle f'(t), g'(t), h'(t) \rangle\)
\(\frac{d}{dt}[\mathbf{u}(t) + \mathbf{v}(t)] = \mathbf{u}'(t) + \mathbf{v}'(t)\)
\(\frac{d}{dt}[c \cdot \mathbf{r}(t)] = c \cdot \mathbf{r}'(t)\)（其中 \(c\) 为常数）
\(\frac{d}{dt}[\mathbf{u}(t) \cdot \mathbf{v}(t)] = \mathbf{u}'(t) \cdot \mathbf{v}(t) + \mathbf{u}(t) \cdot \mathbf{v}'(t)\)

⚠️ 混淆向量函数的导数与标量函数的导数：学生常常忘记对向量函数的每个分量分别求导，而是试图对整个向量求导，导致答案形式错误。
⚠️ 忽视切向量的方向性：学生可能只关注切向量的大小（速度），而忽视其方向表示曲线运动的方向，在几何应用中造成错误。
⚠️ 在点积求导时应用错误的法则：学生常常错误地使用 \((\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})' = \mathbf{u}' \cdot \mathbf{v}'\)，而忘记使用乘积法则 \(\mathbf{u}' \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}'\)。
⚠️ 混淆参数 \(t\) 与其他变量：在复合函数求导时，学生可能混淆参数 \(t\) 与其他变量（如 \(x, y\)），导致链式法则应用不当。