6.4.3 Derivatives of Accumulation Functions¶
学会求累积函数的导数，包括变上限、变下限以及复合函数情况下的求导
定义¶
累积函数（Accumulation Function）是指形如 \(F(x) = \int_a^x f(t) \, dt\) 的函数，其中 \(a\) 是常数，\(x\) 是变量。累积函数的导数就是其被积函数本身。根据微积分基本定理，如果 \(F(x) = \int_a^x f(t) \, dt\)，则 \(F'(x) = f(x)\)。当上限或下限为 \(x\) 的函数时，需要使用链式法则进行求导。对于形如 \(F(x) = \int_{g(x)}^{h(x)} f(t) \, dt\) 的复合累积函数，其导数为 \(F'(x) = f(h(x)) \cdot h'(x) - f(g(x)) \cdot g'(x)\)。
核心公式¶
- \(\frac{d}{dx}\int_a^x f(t) \, dt = f(x)\)
- \(\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t) \, dt = f(g(x)) \cdot g'(x)\)
- \(\frac{d}{dx}\int_{g(x)}^{h(x)} f(t) \, dt = f(h(x)) \cdot h'(x) - f(g(x)) \cdot g'(x)\)
- \(\frac{d}{dx}\int_x^b f(t) \, dt = -f(x)\)
- \(\frac{d}{dx}\int_{g(x)}^x f(t) \, dt = f(x) - f(g(x)) \cdot g'(x)\)
易错点¶
- ⚠️ 忘记使用链式法则：当上限或下限是 \(x\) 的函数（如 \(x^2\) 或 \(\sin x\)）时，必须乘以该函数的导数，而不是直接代入。例如，\(\frac{d}{dx}\int_0^{x^2} f(t) \, dt = f(x^2) \cdot 2x\)，而不是 \(f(x^2)\)。
- ⚠️ 处理变下限时符号错误：\(\frac{d}{dx}\int_x^b f(t) \, dt = -f(x)\)，学生常常忘记负号，或在有复合函数时忘记正确应用符号。
- ⚠️ 在两个变量限的情况下混淆公式：对于 \(\int_{g(x)}^{h(x)} f(t) \, dt\)，学生可能只记得上限的部分，忘记减去下限的贡献，或在应用链式法则时出错。
- ⚠️ 混淆累积函数的导数与定积分的值：累积函数的导数是被积函数本身（在该点的值），而不是定积分的数值结果。学生需要理解这是一个函数关系，而非单一的数值。