5.7 Linear Approximation and Differentials

利用导数进行线性近似和微分估算，分析函数的局部线性性质

本节包含的知识点

• 5.7.1 Tangent Line Approximation (切线近似) — 利用函数在某点的切线方程来近似该点附近的函数值，建立线性化公式 L(x) = f(a) + f'(a)(x-a)
• 5.7.2 Linearization and Local Linearity (线性化与局部线性性) — 理解函数在可微点附近表现出线性特征，掌握线性化函数的构造及其作为最佳线性近似的性质
• 5.7.3 Differentials (微分) — 定义并计算微分 dy = f'(x)dx 和 dx，理解微分作为函数增量近似值的几何和代数意义
• 5.7.4 Error Estimation in Linear Approximation (线性近似的误差估计) — 分析线性近似的误差大小，理解误差与距离 |x-a| 和二阶导数的关系，评估近似的精度
• 5.7.5 Applications of Differentials (微分的应用) — 运用微分方法估算实际问题中的变化量，包括测量误差传播、敏感性分析和近似计算