3.5.1 Derivative of Arcsine (arcsin x)

反正弦函数 arcsin x 的导数公式 d/dx(arcsin x) = 1/√(1-x²) 的推导及定义域限制

定义

反正弦函数（arcsine function）的导数是指对反三角函数 \(y = \arcsin x\) 求导得到的结果。反正弦函数 \(\arcsin x\) 是正弦函数 \(\sin x\) 在区间 \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) 上的反函数，其定义域为 \([-1, 1]\)，值域为 \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)。反正弦函数的导数公式为 \(\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)，其中 \(x \in (-1, 1)\)。该公式的推导基于反函数求导法则：若 \(y = \arcsin x\)，则 \(x = \sin y\)，对两边关于 \(x\) 求导得 \(1 = \cos y \cdot \frac{dy}{dx}\)，因此 \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}\)。由于 \(\cos y = \sqrt{1-\sin^2 y} = \sqrt{1-x^2}\)（在 \(y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) 上余弦非负），所以 \(\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)。

核心公式

• \(\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad x \in (-1, 1)\)
• \(\frac{d}{dx}(\arcsin u) = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \cdot \frac{du}{dx}\) （链式法则）
• \(\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C\)
• \(\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}, \quad x \in [-1, 1]\)
• \(\sin(\arcsin x) = x, \quad x \in [-1, 1]\)

易错点

• ⚠️ 忽视定义域限制：学生常常忘记导数 \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) 仅在 \(x \in (-1, 1)\) 时有意义，在 \(x = \pm 1\) 处导数不存在（趋于无穷）
• ⚠️ 链式法则应用错误：对复合函数 \(\arcsin(u(x))\) 求导时，忘记乘以 \(\frac{du}{dx}\)，直接写成 \(\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\)
• ⚠️ 混淆反函数导数的推导：错误地使用 \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}\) 时，在化简 \(\cos y\) 时出错，例如错误地取负值或忽视 \(y\) 的范围限制
• ⚠️ 分母化简错误：在处理 \(\sqrt{1-x^2}\) 时，错误地展开或化简，特别是在涉及复合函数时分子分母处理不当