5.3.3 一阶导数测试法（First Derivative Test）

运用一阶导数测试法判断临界点处的极值类型：导数符号从正到负为极大值，从负到正为极小值

定义

一阶导数测试法是通过分析函数导数在临界点两侧的符号变化来判断该点处极值类型的方法。设 \(c\) 为函数 \(f(x)\) 的临界点（即 \(f'(c) = 0\) 或 \(f'(c)\) 不存在），则： - 当 \(f'(x)\) 在 \(c\) 的左侧为正，右侧为负时，\(f(c)\) 是极大值； - 当 \(f'(x)\) 在 \(c\) 的左侧为负，右侧为正时，\(f(c)\) 是极小值； - 当 \(f'(x)\) 在 \(c\) 的两侧符号相同时，\(f(c)\) 不是极值点。

该方法的核心思想是：导数的符号反映了函数的单调性，通过导数符号的变化可以确定函数在临界点处的局部极值性质。

核心公式

• \(f'(c) = 0 \text{ 或 } f'(c) \text{ 不存在}\)（临界点的定义）
• \(\text{若 } x < c \text{ 时 } f'(x) > 0，x > c \text{ 时 } f'(x) < 0，\text{则 } f(c) \text{ 为极大值}\)
• \(\text{若 } x < c \text{ 时 } f'(x) < 0，x > c \text{ 时 } f'(x) > 0，\text{则 } f(c) \text{ 为极小值}\)
• \(\text{若 } f'(x) \text{ 在 } c \text{ 的两侧符号不变，则 } f(c) \text{ 不是极值点}\)
• \(f(x) \text{ 在 } (a,b) \text{ 上递增} \Leftrightarrow f'(x) > 0 \text{ 对所有 } x \in (a,b) \text{ 成立}\)

易错点

• ⚠️ 混淆极值与最值的概念：极值是局部概念（在某点附近），而最值是全局概念（在整个定义域上）。一阶导数测试法只能找到极值，不能直接确定最值。
• ⚠️ 忽视导数不存在的点：学生常只关注 \(f'(x) = 0\) 的点，而忽略导数不存在的点（如尖点、垂直切线处）也可能是临界点和极值点。
• ⚠️ 符号判断错误：在判断导数符号时，选择测试点时不够谨慎，或计算导数值时出错，导致符号判断反向，从而得出相反的结论。
• ⚠️ 忽视导数符号不变的情况：当导数在临界点两侧符号相同时，该点不是极值点，但学生有时会错误地认为所有临界点都对应极值。