10.3.4 Root Test (根值检验法/柯西判别法)¶

通过计算级数通项n次方根的极限来判定收敛性，适用于含有n次幂的级数

定义¶

根值检验法（Root Test）是判定无穷级数收敛性的一种方法。对于级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$，计算通项 $a_n$ 的 $n$ 次方根的极限。设 $L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$，则： - 当 $L < 1$ 时，级数绝对收敛 - 当 $L > 1$ 时，级数发散 - 当 $L = 1$ 时，检验法不确定，需用其他方法判定

根值检验法特别适用于通项中含有 $n$ 次幂、指数函数或阶乘等复杂形式的级数。

核心公式¶

$L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$
$L = \lim_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}$
$若 $L < 1$，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收敛$
$若 $L > 1$，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散$
$若 $L = 1$，根值检验法不确定，需用其他判别法（如比值检验法、积分检验法等）$

易错点¶

⚠️ 忘记对通项取绝对值：应计算 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$ 而非 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}$，特别是当级数项为负数时
⚠️ 在 $L=1$ 的边界情况下错误结论：当根值检验得到 $L=1$ 时，不能直接判定收敛或发散，必须使用其他检验法（常见错误是学生直接说级数收敛或发散）
⚠️ 计算 $n$ 次方根时出错：混淆 $\sqrt[n]{a_n}$ 和 $\sqrt{a_n}$，或在化简 $(a^n)^{1/n}$ 时出现代数错误
⚠️ 忽视绝对收敛的含义：根值检验法判定的是绝对收敛性，学生有时会混淆条件收敛和绝对收敛的概念