3.6.2 Derivative of Natural Logarithm (ln x)

自然对数函数 ln x 的导数公式，掌握 d/dx(ln x) = 1/x 及其定义域限制

定义

自然对数函数 \(\ln x\) 的导数是指对数函数在某点处的瞬时变化率。自然对数函数 \(f(x) = \ln x\) 的导数为 \(f'(x) = \frac{1}{x}\)，其中 \(x > 0\)。这个导数公式表明，在定义域内任意一点，自然对数函数的切线斜率等于该点横坐标的倒数。该公式可以通过极限定义或对数的性质推导得出，是微积分中最重要的基本导数公式之一。需要特别注意的是，该导数仅在 \(x > 0\) 的定义域内有效，因为自然对数函数本身只对正数有定义。

核心公式

• \(\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}, \quad x > 0\)
• \(\frac{d}{dx}(\ln |x|) = \frac{1}{x}, \quad x \neq 0\)
• \(\frac{d}{dx}(\ln u) = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{u'}{u}\) （链式法则）
• \(\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C, \quad x \neq 0\)
• \(\frac{d}{dx}(\ln(f(x))) = \frac{f'(x)}{f(x)}\) （对数求导法）

易错点

• ⚠️ ["忽视定义域限制：学生常常忘记 \(\ln x\) 的导数 \(\frac{1}{x}\) 仅在 \(x > 0\) 时有效，或在处理 \(\ln |x|\) 时没有正确处理 \(x < 0\) 的情况。", "链式法则应用错误：在求 \(\ln(u(x))\) 的导数时，忘记乘以 \(u'(x)\)，直接写成 \(\frac{1}{u}\) 而不是 \(\frac{u'}{u}\)。", "与其他对数混淆：混淆 \(\ln x\) 与 \(\log_a x\) 的导数，错误地使用 \(\frac{1}{x \ln a}\) 的公式来求 \(\ln x\) 的导数。", "积分与导数关系错误：在反向应用导数公式时，错误地认为 \(\int \frac{1}{x} dx = \ln x\)（缺少绝对值符号），导致在 \(x < 0\) 时出现错误。"]