10.4.2 莱布尼茨判别法 (Alternating Series Test/Leibniz Test)

掌握交错级数收敛的充分条件，包括单调递减和极限为零两个关键条件的应用

定义

莱布尼茨判别法（Leibniz Test）是判断交错级数收敛性的充分条件。对于交错级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}a_n\) 或 \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n\)（其中 \(a_n > 0\)），如果满足以下两个条件： 1. 数列 \(\{a_n\}\) 单调递减（即 \(a_{n+1} \leq a_n\) 对所有 \(n\) 成立） 2. \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)

则该交错级数收敛。此外，如果级数收敛到和 \(S\)，则余项 \(R_n = S - S_n\) 满足 \(|R_n| \leq a_{n+1}\)，即余项的绝对值不超过第一个被忽略项的绝对值。

核心公式

• \(["\)\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}a_n \text{ 收敛} \Leftarrow \begin{cases} a_{n+1} \leq a_n & \text{（单调递减）} \\ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 & \text{（极限为零）} \end{cases}\(", "\)|R_n| = |S - S_n| \leq a_{n+1}\(", "\)\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}a_n = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots\(", "\)\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}a_n \text{ 发散}\(", "\)a_{n+1} \leq a_n \text{ 且 } \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \Rightarrow \text{级数收敛，但不一定绝对收敛}\("]\)

易错点

• ⚠️ 混淆充分条件与必要条件：莱布尼茨判别法是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件。即使不满足单调递减条件，级数仍可能收敛；反之，满足条件的级数一定收敛，但反向推不成立。
• ⚠️ 忽视单调递减条件：学生常只检查 \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\)，而忽略了 \(a_{n+1} \leq a_n\) 的要求。两个条件必须同时满足，仅有其中一个不足以保证收敛。
• ⚠️ 误用余项估计：余项估计 \(|R_n| \leq a_{n+1}\) 仅对满足莱布尼茨判别法条件的交错级数成立。学生常将此公式应用于不满足条件的级数，导致错误的误差估计。
• ⚠️ 混淆条件收敛与绝对收敛：满足莱布尼茨判别法的交错级数收敛，但不一定绝对收敛。例如交错调和级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}\) 条件收敛但不绝对收敛。