6.7.1 微积分基本定理第二部分（FTC Part 2）

理解并陈述微积分基本定理第二部分：若F是f的反导数，则∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)

定义

微积分基本定理第二部分（The Fundamental Theorem of Calculus, Part 2）是连接微分和积分的核心定理。它表述为：如果函数 \(f\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，\(F\) 是 \(f\) 在 \([a,b]\) 上的任意一个反导数（即 \(F'(x) = f(x)\)），那么 \(f\) 在 \([a,b]\) 上的定积分等于 \(F\) 在区间端点处的函数值之差。这个定理提供了一种计算定积分的有效方法：不需要通过黎曼和的极限定义，而是通过求反导数并代入端点值来计算。该定理的关键在于它建立了不定积分（反导数）与定积分之间的直接关系，使得积分计算从几何意义转化为代数运算。

核心公式

• \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\)，其中 \(F'(x) = f(x)\)
• \(\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)\)（记号形式）
• \(\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)\)（微积分基本定理第一部分的推论）
• \(\int_a^b [f(x) + g(x)]\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx\)（线性性质）
• \(\int_a^b kf(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx\)，其中 \(k\) 为常数

易错点

• ⚠️ 忘记在代入端点值时使用正确的顺序：计算 \(F(b) - F(a)\) 而不是 \(F(a) - F(b)\)，或者在计算过程中颠倒上下限的顺序
• ⚠️ 在求反导数时加上任意常数 \(C\)，然后在计算定积分时仍然保留常数项。实际上，定积分中的常数会相消：\([F(x) + C]_a^b = [F(b) + C] - [F(a) + C] = F(b) - F(a)\)，所以不需要考虑常数
• ⚠️ 混淆反导数的唯一性：认为一个函数只有一个反导数。实际上，如果 \(F\) 是 \(f\) 的反导数，那么 \(F(x) + C\)（\(C\) 为任意常数）也是 \(f\) 的反导数，但它们在定积分中给出相同的结果
• ⚠️ 在应用定理前没有验证函数的连续性条件。虽然在大多数标准问题中函数都是连续的，但理解这个前提条件对于正确应用定理至关重要