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3.1.4 Basic Applications of Chain Rule

应用链式法则求解简单复合函数的导数，如多项式复合、三角函数复合等

定义

链式法则（Chain Rule）是微积分中用于求复合函数导数的基本法则。设 \(y = f(u)\) 和 \(u = g(x)\) 是可导函数，则复合函数 \(y = f(g(x))\) 的导数为：函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。链式法则可以推广到多层复合函数的情况。在实际应用中，链式法则用于求解多项式复合函数、三角函数复合、指数函数复合、对数函数复合等各类复合函数的导数。

核心公式

  • \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)
  • \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
  • \(\frac{d}{dx}[u^n] = n u^{n-1} \cdot \frac{du}{dx}\)
  • \(\frac{d}{dx}[\sin(u)] = \cos(u) \cdot \frac{du}{dx}\)
  • \(\frac{d}{dx}[e^u] = e^u \cdot \frac{du}{dx}\)

易错点

  • ⚠️ 忘记对内层函数求导：学生常犯的错误是只对外层函数求导，忽视了内层函数的导数。例如，求 \((3x+2)^5\) 的导数时，错误地得到 \(5(3x+2)^4\) 而不是 \(5(3x+2)^4 \cdot 3\)
  • ⚠️ 链式法则应用顺序混乱：在多层复合函数中，学生可能不清楚应该从外向内逐层应用链式法则，导致导数表达式错误或不完整
  • ⚠️ 对三角函数复合的处理错误：求 \(\sin(x^2)\) 的导数时，学生容易忘记 \(\sin\) 的导数是 \(\cos\)，或者在应用链式法则时遗漏内层函数 \(2x\) 的导数
  • ⚠️ 混淆链式法则与乘积法则：当遇到形如 \(x \cdot \sin(x^2)\) 这样既含有乘积又含有复合的函数时，学生可能不知道应该先用乘积法则，再在每一项中应用链式法则