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3.2.4 三角函数的多重复合 (Multiple Compositions with Trigonometric Functions)

求解嵌套三角函数如 sin(cos(x²)) 等的导数，掌握三角函数在复合结构中的求导技巧

定义

三角函数的多重复合是指对嵌套的三角函数进行求导。当三角函数作为外层函数，其内部包含一个或多个复合函数时，需要反复应用链式法则。对于形如 \(f(g(h(x)))\) 的函数，其中包含三角函数（如 \(\sin\)、\(\cos\)、\(\tan\) 等），求导时需要从外向内逐层求导，每一层都乘以内层函数的导数。例如，对于 \(\sin(\cos(x^2))\) 这样的三重复合函数，需要先对最外层的 \(\sin\) 求导，再对中间层的 \(\cos\) 求导，最后对最内层的 \(x^2\) 求导，然后将这些导数相乘。

核心公式

  • \(\frac{d}{dx}[\sin(u)] = \cos(u) \cdot \frac{du}{dx}\)
  • \(\frac{d}{dx}[\cos(u)] = -\sin(u) \cdot \frac{du}{dx}\)
  • \(\frac{d}{dx}[\tan(u)] = \sec^2(u) \cdot \frac{du}{dx}\)
  • \(\frac{d}{dx}[\sin(\cos(x^2))] = \cos(\cos(x^2)) \cdot (-\sin(x^2)) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)\cos(\cos(x^2))\)
  • \(\frac{d}{dx}[f(g(h(x)))] = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)\)

易错点

  • ⚠️ 忘记在应用链式法则时乘以内层函数的导数，例如将 \(\frac{d}{dx}[\sin(x^2)]\) 错误地求为 \(\cos(x^2)\) 而不是 \(2x\cos(x^2)\)
  • ⚠️ 在多重复合中遗漏中间层的导数，例如对 \(\sin(\cos(x^2))\) 求导时只乘以 \(\cos(\cos(x^2))\) 和 \(2x\)，而忘记乘以 \(-\sin(x^2)\)
  • ⚠️ 混淆三角函数的导数符号，特别是 \(\cos\) 的导数是负的 \(-\sin\)，在复合函数中容易出现符号错误
  • ⚠️ 在处理多层复合时，没有正确识别每一层的函数，导致求导顺序混乱或遗漏某些层的导数