6.5.2 累积函数的极值点 (Extrema of Accumulation Functions)

利用被积函数的零点和符号变化确定累积函数的极大值和极小值位置

定义

累积函数是指形如 \(F(x) = \int_a^x f(t) \, dt\) 的函数，其中 \(f(t)\) 是被积函数。累积函数的极值点是指 \(F(x)\) 取得最大值或最小值的点。根据微积分基本定理，\(F'(x) = f(x)\)，因此：

1. 极值点的判定条件：累积函数 \(F(x)\) 在 \(x = c\) 处取得极值当且仅当被积函数 \(f(c) = 0\)（即 \(F'(c) = 0\)）

2. 极大值和极小值的区分：

3. 当 \(f(x)\) 在 \(x = c\) 处从正变为负时（即 \(f(x)\) 在 \(c\) 左侧为正，右侧为负），\(F(x)\) 在 \(x = c\) 处取得极大值

4. 当 \(f(x)\) 在 \(x = c\) 处从负变为正时（即 \(f(x)\) 在 \(c\) 左侧为负，右侧为正），\(F(x)\) 在 \(x = c\) 处取得极小值

5. 几何意义：由于 \(F(x)\) 表示从 \(a\) 到 \(x\) 之间 \(f(t)\) 与 \(t\) 轴围成的有向面积，当被积函数 \(f(x) > 0\) 时，累积函数单调递增；当 \(f(x) < 0\) 时，累积函数单调递减。

核心公式

• \(F(x) = \int_a^x f(t) \, dt\)
• \(F'(x) = f(x)\)（微积分基本定理）
• \(F''(x) = f'(x)\)
• \(极大值条件：\)f(c) = 0$ 且 \(f(x)\) 在 \(c\) 处从正变负$
• \(极小值条件：\)f(c) = 0$ 且 \(f(x)\) 在 \(c\) 处从负变正$

易错点

• ⚠️ 混淆 \(F(x)\) 的极值点与 \(f(x)\) 的零点：学生常误认为 \(f(x)\) 的极值点就是 \(F(x)\) 的极值点，实际上 \(F(x)\) 的极值点对应 \(f(x)\) 的零点
• ⚠️ 忽视被积函数的符号变化：仅看到 \(f(c) = 0\) 就判断 \(F(x)\) 有极值，而没有检查 \(f(x)\) 在 \(c\) 两侧的符号是否真的改变（例如 \(f(x) = x^2\) 在 \(x=0\) 处有零点但无符号变化）
• ⚠️ 错误应用二阶导数判别法：使用 \(F''(c) = f'(c)\) 的符号来判断极值，但这只在 \(f'(c) \neq 0\) 时有效；当 \(f'(c) = 0\) 时需要用一阶导数的符号变化判别
• ⚠️ 混淆累积函数的单调性与被积函数的正负：当 \(f(x) > 0\) 时 \(F(x)\) 递增，但学生有时会错误地认为 \(F(x)\) 的增减与 \(F(x)\) 本身的正负有关