5.2.1 Critical Points (临界点)

临界点的定义和求法，包括导数为零的点和导数不存在的点

定义

临界点（Critical Point）是函数 \(f(x)\) 在其定义域内满足以下条件之一的点 \(x = c\)： 1. 导数为零：\(f'(c) = 0\) 2. 导数不存在：\(f'(c)\) 不存在（如函数在该点有尖角、垂直切线或不可导）

临界点是寻找函数极值（极大值和极小值）的关键。函数的极值点必定是临界点，但临界点不一定是极值点。临界点可能对应极大值、极小值或拐点（鞍点）。

核心公式

• \(f'(c) = 0 \text{ 或 } f'(c) \text{ 不存在}\)
• \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
• \(\text{若 } f'(c) = 0 \text{ 且 } f''(c) > 0\text{，则 } x=c \text{ 是极小值点}\)
• \(\text{若 } f'(c) = 0 \text{ 且 } f''(c) < 0\text{，则 } x=c \text{ 是极大值点}\)
• \(\text{若 } f'(c) = 0 \text{ 且 } f''(c) = 0\text{，则需用一阶导数测试或更高阶导数判断}\)

易错点

• ⚠️ 混淆临界点与极值点：学生常认为所有临界点都是极值点，但实际上临界点可能是拐点。例如 \(f(x) = x^3\) 在 \(x=0\) 处有 \(f'(0)=0\)，但这是拐点而非极值点。
• ⚠️ 忽视导数不存在的点：学生只寻找 \(f'(x)=0\) 的点，而忽略了导数不存在的点（如 \(f(x)=|x|\) 在 \(x=0\) 处导数不存在）。这些点也是临界点，可能是极值点。
• ⚠️ 在分段函数或含绝对值函数中遗漏临界点：学生在求导时可能忽视函数在某些点处不可导的情况，导致漏掉重要的临界点。
• ⚠️ 混淆二阶导数测试的条件：学生可能错误地认为 \(f''(c)=0\) 时就是拐点，但实际上还需进一步判断；或在 \(f''(c)=0\) 时直接下结论而不进行一阶导数测试。