2.6.3 Derivative of Natural Logarithmic Function (自然对数函数的导数)

掌握自然对数函数 ln(x) 的导数公式 (ln x)' = 1/x 及其推导过程

定义

自然对数函数的导数是指对函数 \(f(x) = \ln(x)\)（其中 \(x > 0\)）求导得到的结果。自然对数函数 \(\ln(x)\) 是以自然常数 \(e\) 为底的对数函数，其导数为 \(\frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x}\)。这个导数公式表明，在任意点 \(x > 0\) 处，自然对数函数的瞬时变化率等于该点横坐标的倒数。该公式可以通过导数的定义（极限）或利用指数函数与对数函数的互为反函数关系推导得出。对于复合函数 \(\ln(u)\)，其中 \(u\) 是 \(x\) 的函数，应用链式法则得到 \(\frac{d}{dx}[\ln(u)] = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}\)。

核心公式

• \(\frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x}, \quad x > 0\)
• \(\frac{d}{dx}[\ln(u)] = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}\)（链式法则）
• \(\frac{d}{dx}[\ln|x|] = \frac{1}{x}, \quad x \neq 0\)
• \(\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C\)（导数的逆运算）
• \(\lim_{h \to 0} \frac{\ln(x+h) - \ln(x)}{h} = \frac{1}{x}\)（导数定义）

易错点

• ⚠️ 忘记链式法则：对 \(\ln(2x)\) 求导时，直接写成 \(\frac{1}{2x}\) 而不乘以内层函数的导数 \(2\)，正确答案应为 \(\frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}\)
• ⚠️ 混淆 \(\ln(x)\) 和 \(\log(x)\) 的导数：\(\ln(x)\) 的导数是 \(\frac{1}{x}\)，而 \(\log_a(x)\) 的导数是 \(\frac{1}{x\ln(a)}\)，两者不同
• ⚠️ 忽视定义域限制：认为 \(\ln(x)\) 在所有实数上都有定义，实际上只在 \(x > 0\) 时有定义；对于 \(\ln|x|\)，定义域是 \(x \neq 0\)
• ⚠️ 在处理 \(\ln(x^n)\) 时，先化简为 \(n\ln(x)\) 再求导得 \(\frac{n}{x}\)，而不是直接用商法则或其他复杂方法，导致计算错误