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8.3.3 Washer Method - Revolution about x-axis (绕x轴旋转的垫圈法)

当两条曲线之间的区域绕x轴旋转时，使用垫圈法通过V=π∫[a,b][R²(x)-r²(x)]dx计算体积，其中R(x)为外半径，r(x)为内半径

定义

垫圈法（Washer Method）是计算旋转体体积的一种方法。当平面区域由两条曲线 \(y = R(x)\)（外曲线）和 \(y = r(x)\)（内曲线）围成，且 \(R(x) \geq r(x) \geq 0\)，该区域绕 \(x\) 轴旋转时，使用垫圈法计算体积。在旋转过程中，垂直于 \(x\) 轴的截面是一个垫圈（圆环），其外半径为 \(R(x)\)，内半径为 \(r(x)\)。通过对所有垫圈的面积进行积分，可以得到整个旋转体的体积。

核心公式

  • \(V = \pi \int_a^b [R(x)]^2 - [r(x)]^2 \, dx\)
  • \(V = \pi \int_a^b \{[R(x)]^2 - [r(x)]^2\} \, dx\)
  • \(A(x) = \pi\{[R(x)]^2 - [r(x)]^2\}\)
  • \(V = \int_a^b A(x) \, dx\)
  • \([R(x)]^2 - [r(x)]^2 = [R(x) + r(x)][R(x) - r(x)]\)

易错点

  • ⚠️ 混淆外半径和内半径的位置：学生常常将离旋转轴更远的曲线作为内半径，实际上应该是离旋转轴更近的曲线为内半径 \(r(x)\)，更远的为外半径 \(R(x)\)
  • ⚠️ 忘记平方：垫圈法的面积公式涉及 \([R(x)]^2 - [r(x)]^2\)，学生有时会错误地计算为 \(R(x) - r(x)\) 或 \([R(x) - r(x)]^2\)
  • ⚠️ 积分限的确定错误：未能正确识别两条曲线的交点作为积分上下限，或在曲线相交的情况下错误地设置积分区间
  • ⚠️ 忽视非负性条件：当 \(r(x) < 0\) 时需要调整公式，学生有时直接套用公式而不检查曲线是否都在 \(x\) 轴上方