6.4.2 The First Fundamental Theorem of Calculus

掌握微积分基本定理第一部分：若 F(x) = ∫[a,x] f(t)dt，则 F'(x) = f(x)，理解积分与微分的互逆关系

定义

微积分基本定理第一部分（The First Fundamental Theorem of Calculus）建立了积分与微分之间的核心联系。设函数 \(f\) 在区间 \([a,b]\) 上连续，定义累积函数 \(F(x) = \int_a^x f(t) \, dt\)，其中 \(x \in [a,b]\)。则 \(F(x)\) 在 \([a,b]\) 上可导，且其导数等于被积函数在该点的值，即 \(F'(x) = f(x)\)。这个定理揭示了不定积分与导数互为逆运算的本质：对一个函数进行积分再求导，会回到原函数；反之亦然。该定理是微积分学的基石，连接了微分学和积分学两个主要分支。

核心公式

• \(["\)F(x) = \int_a^x f(t) \, dt \Rightarrow F'(x) = f(x)\(", "\)\frac{d}{dx}\int_a^x f(t) \, dt = f(x)\(", "\)\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t) \, dt = f(g(x)) \cdot g'(x)$ （链式法则形式）", "\(\\int_a^b f(x) \\, dx = F(b) - F(a)\)，其中 \(F'(x) = f(x)\)", "\(\\frac{d}{dx}\\int_{u(x)}^{v(x)} f(t) \\, dt = f(v(x)) \\cdot v'(x) - f(u(x)) \\cdot u'(x)\) （一般形式）"]$

易错点

• ⚠️ 混淆积分上下限的角色：学生常误认为 \(\frac{d}{dx}\int_x^a f(t) \, dt = f(x)\)，实际上应该是 \(\frac{d}{dx}\int_x^a f(t) \, dt = -f(x)\)（因为交换上下限会产生负号）
• ⚠️ 在使用链式法则时忽略导数：对于 \(\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t) \, dt\)，学生常只写 \(f(g(x))\) 而忘记乘以 \(g'(x)\)
• ⚠️ 错误地将定理应用于不连续函数：微积分基本定理要求被积函数 \(f(t)\) 在积分区间上连续，学生有时忽视这个前提条件而直接应用定理
• ⚠️ 在处理复杂上下限时出错：对于 \(\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t) \, dt\)，学生常忘记同时处理两个端点的导数项，或在符号上出错