5.2.5 Finding Extrema on Closed Intervals (闭区间求极值)

通过比较临界点和端点函数值来确定闭区间上的最值的系统方法

定义

闭区间上的极值（最值）是指函数在闭区间 \([a,b]\) 上的最大值和最小值。根据极值定理（Extreme Value Theorem），连续函数在闭区间上必定存在最大值和最小值。这些极值只可能在以下两类点处取得：(1) 临界点（critical points），即导数为零或不存在的点；(2) 区间端点。求闭区间上极值的系统方法是：首先找出区间内所有临界点，然后计算函数在所有临界点和两个端点处的函数值，比较这些值的大小，最大的函数值为最大值，最小的函数值为最小值。

核心公式

• \(["\)f'(c) = 0 \text{ 或 } f'(c) \text{ 不存在，则 } c \text{ 为临界点}\(", "\)\text{极值必在以下点处取得：} c \in (a,b) \text{ 且 } f'(c)=0 \text{ 或 } f'(c) \text{ 不存在，或 } x=a \text{ 或 } x=b\(", "\)\text{最大值} = \max{f(c_1), f(c_2), \ldots, f(c_n), f(a), f(b)}\(", "\)\text{最小值} = \min{f(c_1), f(c_2), \ldots, f(c_n), f(a), f(b)}\(", "\)\text{极值定理：若 } f \text{ 在闭区间 } [a,b] \text{ 上连续，则 } f \text{ 在 } [a,b] \text{ 上既有最大值又有最小值}\("]\)

易错点

• ⚠️ 忽视端点：只检查临界点而遗漏了对区间端点函数值的计算，导致得出错误的最值。在闭区间求极值时，端点处的函数值必须与临界点处的函数值进行比较。
• ⚠️ 混淆临界点与极值点：找到临界点后直接认为其为最值点，而没有进行比较。临界点只是可能取得极值的候选点，必须通过比较所有候选点的函数值才能确定真正的最值。
• ⚠️ 遗漏导数不存在的点：只寻找 \(f'(x)=0\) 的点，忽视了导数不存在但函数连续的点（如尖点、角点）也是临界点，可能是极值点。
• ⚠️ 计算错误：在求导或计算函数值时出现代数错误，或在比较函数值大小时出现逻辑错误，导致选错最值。