2.4.3 Quotient Rule (商法则)

掌握商法则的公式推导和理论基础，理解两个函数商的导数等于分母乘以分子的导数减去分子乘以分母的导数再除以分母的平方

定义

商法则（Quotient Rule）是微积分中用于求两个函数商的导数的基本法则。设 \(u(x)\) 和 \(v(x)\) 是关于 \(x\) 的可导函数，且 \(v(x) \neq 0\)，则函数 \(f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}\) 的导数为：分母乘以分子的导数，减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方。用公式表示为 \(\frac{d}{dx}\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] = \frac{v(x) \cdot u'(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}\)。这个法则是微分学中的基本工具，用于处理分式函数的导数计算。

核心公式

• \(\frac{d}{dx}\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right] = \frac{v(x) \cdot u'(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}\)
• \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\)
• \(\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{v(x)}\right] = -\frac{v'(x)}{[v(x)]^2}\)
• \(\frac{d}{dx}\left[\frac{c}{v(x)}\right] = -\frac{c \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}\)（其中 \(c\) 为常数）
• \(\frac{d}{dx}\left[\frac{u(x)}{c}\right] = \frac{u'(x)}{c}\)（其中 \(c\) 为常数）

易错点

• ⚠️ 颠倒分子顺序：写成 \(\frac{u(x) \cdot v'(x) - v(x) \cdot u'(x)}{[v(x)]^2}\)，导致符号错误。正确顺序必须是分母乘以分子导数减去分子乘以分母导数。
• ⚠️ 忘记平方分母：只写 \(\frac{v(x) \cdot u'(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)}\)，漏掉分母的平方，导致答案完全错误。
• ⚠️ 对分子或分母应用商法则时出现嵌套错误：当分子或分母本身是复杂的乘积或商时，没有正确先应用乘法法则或商法则，而是直接求导。
• ⚠️ 混淆商法则与乘法法则：在处理分式时错误地使用乘法法则的形式 \(u'v + uv'\)，而不是商法则的 \(\frac{u'v - uv'}{v^2}\)。