6.2.3 Midpoint Riemann Sum（中点黎曼和）

使用每个子区间中点的函数值构造矩形来近似曲线下方面积，通常提供更精确的近似

定义

中点黎曼和（Midpoint Riemann Sum）是一种用矩形面积之和来近似曲线下方面积的方法。具体地，将积分区间 \([a,b]\) 分成 \(n\) 个等宽的子区间，每个子区间的宽度为 \(\Delta x = \frac{b-a}{n}\)。对于第 \(i\) 个子区间 \([x_{i-1}, x_i]\)，取该子区间的中点 \(m_i = \frac{x_{i-1}+x_i}{2}\)，以 \(f(m_i)\) 作为该子区间上矩形的高。中点黎曼和为所有矩形面积的总和，即 \(M_n = \sum_{i=1}^{n} f(m_i) \Delta x\)。当 \(n \to \infty\) 时，中点黎曼和趋近于定积分 \(\int_a^b f(x)\,dx\) 的精确值。中点黎曼和通常比左端点黎曼和或右端点黎曼和提供更精确的近似，因为中点能更好地代表子区间上函数的平均行为。

核心公式

• \(["\)M_n = \sum_{i=1}^{n} f(m_i) \Delta x$，其中 \(m_i = \frac{x_{i-1}+x_i}{2}\) 是第 \(i\) 个子区间的中点", "\(\Delta x = \frac{b-a}{n}\)，表示每个子区间的宽度", "\(m_i = a + \left(i - \frac{1}{2}\right)\Delta x\)，第 \(i\) 个中点的另一种表示形式", "\(\lim_{n \to \infty} M_n = \int_a^b f(x)\,dx\)，中点黎曼和的极限等于定积分", "\(|E_n| \leq \frac{(b-a)^3 M}{24n^2}\)，其中 \(M\) 是 \(|f''(x)|\) 在 \([a,b]\) 上的最大值，表示中点黎曼和的误差界"]$

易错点

• ⚠️ ["混淆中点的计算：学生常错误地使用 \(m_i = x_i\)（右端点）或 \(m_i = x_{i-1}\)（左端点），而不是真正的中点 \(m_i = \frac{x_{i-1}+x_i}{2}\)", "忘记乘以 \(\Delta x\)：计算出所有中点处的函数值后，忘记将其乘以子区间宽度 \(\Delta x\)，导致得到函数值的和而非面积的和", "在分割区间时出错：当 \(n\) 个子区间不等宽或计算 \(\Delta x\) 时出现算术错误，特别是在 \(a\) 和 \(b\) 不是整数或差值不能被 \(n\) 整除时", "混淆中点黎曼和与其他黎曼和的精确度：学生可能认为中点黎曼和总是比左/右端点黎曼和更精确，但没有理解这取决于函数的凹凸性，以及中点黎曼和的误差与二阶导数有关"]